Реши задание на изображении
Краткие ответы
\(y=4^x\): график проходит через точки
\[ (-2;\tfrac1{16}),\;(-1;\tfrac14),\;(0;1),\;(1;4),\;(2;16). \] Функция возрастает, \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=(0;+\infty)\).а) \(64\);
б) \(\dfrac23\);
в) \(4\).а) \(y^3\);
б) \(\dfrac1a\).а) \(x=\dfrac23\);
б) \(x=3\);
в) \(x=\dfrac{11}{2}\);
г) \(x=0\).\(x=2\) или \(x=3\).
а) \[ x\in\left[-\sqrt{\frac{13}{5}};\sqrt{\frac{13}{5}}\right]; \] б) \(x\in[0;5]\).
Наибольшее значение: \(9\), наименьшее: \(\dfrac1{27}\).
Решение
1. График и свойства функции \(y=4^x\)
Составим таблицу:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y=4^x&\frac1{16}&\frac14&1&4&16 \end{array} \]
Отметь эти точки на координатной плоскости и соедини их плавной возрастающей кривой.
Свойства:
- область определения: \(\mathbb R\);
- область значений: \((0;+\infty)\);
- функция возрастает на всей числовой прямой, так как \(4>1\);
- \(y>0\) при любых \(x\);
- пересекает ось \(Oy\) в точке \((0;1)\);
- ось \(Ox\) не пересекает;
- горизонтальная асимптота: \(y=0\).
2. Значение выражений
а)
\[ 2^8\cdot32^{-\frac25} =2^8\cdot(2^5)^{-\frac25} =2^8\cdot2^{-2} =2^6=64. \]
б)
\[ \frac{\sqrt[3]{2^6}}{\sqrt{36}} =\frac{2^2}{6} =\frac46 =\frac23. \]
в)
Представим числа в виде степеней:
\[ 0,216=0,6^3,\qquad 0,09=0,3^2,\qquad 0,027=0,3^3. \]
Тогда
\[ \frac{(0,216)^{\frac23}} {0,09^{\frac12}\cdot0,027^{\frac13}} = \frac{(0,6^3)^{\frac23}} {(0,3^2)^{\frac12}\cdot(0,3^3)^{\frac13}}. \]
\[ =\frac{0,6^2}{0,3\cdot0,3} =\frac{0,36}{0,09}=4. \]
3. Упростим выражения
а)
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
\[ y^{1,7}\cdot y^{2,8}\cdot y^{-1,5} =y^{1,7+2,8-1,5} =y^3. \]
б)
\[ (a^{-0,75})^{\frac43} =a^{-0,75\cdot\frac43}. \]
Так как \(0,75=\frac34\), получаем:
\[ a^{-\frac34\cdot\frac43}=a^{-1}=\frac1a. \]
4. Решим уравнения
а)
\[ 0,5^{3x-2}=1. \]
Основание \(0,5\ne1\), поэтому показатель должен быть равен нулю:
\[ 3x-2=0, \qquad x=\frac23. \]
б)
\[ 5\cdot3^x=135. \]
\[ 3^x=27=3^3, \]
значит,
\[ x=3. \]
в)
\[ 2^x=32\cdot\sqrt[4]{4}. \]
\[ 32=2^5,\qquad \sqrt[4]{4}=(2^2)^{\frac14}=2^{\frac12}. \]
Тогда
\[ 2^x=2^5\cdot2^{\frac12} =2^{\frac{11}{2}}, \]
следовательно,
\[ x=\frac{11}{2}. \]
г)
\[ 5^x+5^{x+2}=26. \]
Вынесем \(5^x\):
\[ 5^x(1+5^2)=26, \]
\[ 26\cdot5^x=26, \qquad 5^x=1. \]
Значит,
\[ x=0. \]
5. Решим уравнение
\[ 5^{x^2-5x+8}=25=5^2. \]
Приравниваем показатели:
\[ x^2-5x+8=2, \]
\[ x^2-5x+6=0, \]
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Ответ:
\[ x=2\quad\text{или}\quad x=3. \]
Проверка: при \(x=2\) и \(x=3\) показатель равен \(2\), поэтому левая часть равна \(5^2=25\).
6. Решим неравенства
а)
\[ 3^{x^2}\le 9\cdot\sqrt[5]{27}. \]
Представим правую часть как степень числа \(3\):
\[ 9\cdot\sqrt[5]{27} =3^2\cdot(3^3)^{\frac15} =3^2\cdot3^{\frac35} =3^{\frac{13}{5}}. \]
Так как \(3>1\), сравниваем показатели:
\[ x^2\le\frac{13}{5}. \]
Отсюда
\[ -\sqrt{\frac{13}{5}}\le x\le\sqrt{\frac{13}{5}}. \]
б)
\[ 0,6^{x^2-5x}\ge1. \]
Так как \(0<0,6<1\), степень не меньше единицы, когда показатель не положителен:
\[ x^2-5x\le0. \]
\[ x(x-5)\le0. \]
Произведение неположительно между корнями \(0\) и \(5\):
\[ x\in[0;5]. \]
7. Наибольшее и наименьшее значения
\[ y=\left(\frac13\right)^x. \]
Так как \(0<\frac13<1\), функция убывает. Поэтому:
максимум достигается в левой точке \(x=-2\): \[ y_{\max}=\left(\frac13\right)^{-2}=9; \]
минимум достигается в правой точке \(x=3\): \[ y_{\min}=\left(\frac13\right)^3=\frac1{27}. \]
