Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \[ \sin\angle B=\frac{5}{13},\quad \cos\angle B=\frac{12}{13},\quad \tg\angle B=\frac{5}{12},\quad \ctg\angle B=\frac{12}{5}. \]

2. Длина гипотенузы равна \(\boxed{70}\) единиц длины.

Задание 1

Рисунок

        A
        |\
 10 см  | \ 26 см
        |  \
        C---B
          24 см

       ∠C = 90°

Так как \(AB\) — гипотенуза, прямой угол находится в точке \(C\).

Сначала найдём второй катет \(BC\) по теореме Пифагора:

\[ BC^2=AB^2-AC^2 \]

\[ BC^2=26^2-10^2=676-100=576 \]

\[ BC=\sqrt{576}=24\text{ см}. \]

Для угла \(B\):

• противолежащий катет — \(AC=10\) см;
• прилежащий катет — \(BC=24\) см;
• гипотенуза — \(AB=26\) см.

По определениям тригонометрических функций:

\[ \sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{10}{26}=\boxed{\frac{5}{13}}, \]

\[ \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{24}{26}=\boxed{\frac{12}{13}}, \]

\[ \tg B=\frac{AC}{BC}=\frac{10}{24}=\boxed{\frac{5}{12}}, \]

\[ \ctg B=\frac{BC}{AC}=\frac{24}{10}=\boxed{\frac{12}{5}}. \]

Проверка:

\[ \sin^2B+\cos^2B= \left(\frac{5}{13}\right)^2+ \left(\frac{12}{13}\right)^2 =\frac{25+144}{169}=1. \]

Задание 2

Рисунок

        A
        |\
 14     | \ x
        |  \
        C---B

       ∠C = 90°
       α = ∠A

Катет \(AC=14\) является прилежащим к углу \(\alpha\), а \(AB=x\) — гипотенуза.

По определению косинуса:

\[ \cos\alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}. \]

Подставим данные:

\[ \frac{14}{x}=\frac15. \]

Перемножим крест-накрест:

\[ x=14\cdot5=70. \]

Следовательно,

\[ \boxed{x=70}. \]

Проверка:

\[ \frac{14}{70}=\frac15, \]

значит, ответ верный.