Реши задание на изображении
Решение математических выражений
Мне нужно разобрать изображение с четырьмя математическими выражениями и ответить на русском языке. Выражения содержат различные основания и показатели степеней и требуют внимательного рассмотрения:
- \(2^{2-3\sqrt5}\cdot 8^{\sqrt5}\)
- \(3^{1+2\sqrt[3]{2}} : 9^{\sqrt[3]{2}}\)
- \((5^{1+\sqrt2})^{1-\sqrt2}\)
- \((5^{1-\sqrt5})^{1+\sqrt5} - (\sqrt5)^0\)
Мне следует предоставить краткие ответы и основные шаги для каждого выражения. Я перепишу основания при необходимости, решу каждое выражение и проверю результаты согласно правилам действий со степенями. Убедимся, что запись выполнена точно.
Краткий ответ:
- \(4\);
- \(3\);
- \(\dfrac15\);
- \(-\dfrac{624}{625}\).
Решение:
Представим \(8\) как \(2^3\): \[ 2^{2-3\sqrt5}\cdot 8^{\sqrt5} =2^{2-3\sqrt5}\cdot(2^3)^{\sqrt5} =2^{2-3\sqrt5+3\sqrt5} =2^2=4. \]
Представим \(9\) как \(3^2\): \[ 3^{1+2\sqrt[3]{2}}:9^{\sqrt[3]{2}} = \frac{3^{1+2\sqrt[3]{2}}}{(3^2)^{\sqrt[3]{2}}} = 3^{1+2\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2}} =3. \]
Используем правило \((a^m)^n=a^{mn}\): \[ (5^{1+\sqrt2})^{1-\sqrt2} = 5^{(1+\sqrt2)(1-\sqrt2)} = 5^{1-(\sqrt2)^2} = 5^{-1} =\frac15. \]
Сначала перемножим сопряжённые выражения: \[ (5^{1-\sqrt5})^{1+\sqrt5} = 5^{(1-\sqrt5)(1+\sqrt5)} = 5^{1-5}=5^{-4}=\frac1{625}. \] Так как \((\sqrt5)^0=1\), получаем: \[ \frac1{625}-1=\frac{1-625}{625} =-\frac{624}{625}. \]
Проверка: во всех примерах выражения сведены к степеням одного основания, после чего показатели правильно сложены, вычтены или перемножены.
