Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(2\);
2. \(9\);
3. \(3\);
4. \(8\).

Решение

Используем правила:

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \]

1. Представим \(4\) как \(2^2\):

\[ 2^{1-2\sqrt2}\cdot4^{\sqrt2} =2^{1-2\sqrt2}\cdot(2^2)^{\sqrt2} =2^{1-2\sqrt2+2\sqrt2} =2^1=\boxed{2}. \]

2. Представим \(27\) как \(3^3\):

\[ 3^{2-3\sqrt3}\cdot27^{\sqrt3} =3^{2-3\sqrt3}\cdot(3^3)^{\sqrt3} =3^{2-3\sqrt3+3\sqrt3} =3^2=\boxed{9}. \]

3. Представим \(9\) как \(3^2\):

\[ \begin{aligned} 9^{1+\sqrt3}\cdot3^{1-\sqrt3}\cdot3^{-2-\sqrt3} &=(3^2)^{1+\sqrt3}\cdot3^{1-\sqrt3}\cdot3^{-2-\sqrt3}\\ &=3^{2+2\sqrt3+1-\sqrt3-2-\sqrt3}\\ &=3^1=\boxed{3}. \end{aligned} \]

4. Представим \(4\) как \(2^2\):

\[ \begin{aligned} 4^{3+\sqrt2}\cdot2^{1-\sqrt2}\cdot2^{-4-\sqrt2} &=(2^2)^{3+\sqrt2}\cdot2^{1-\sqrt2}\cdot2^{-4-\sqrt2}\\ &=2^{6+2\sqrt2+1-\sqrt2-4-\sqrt2}\\ &=2^3=\boxed{8}. \end{aligned} \]

Проверка: после приведения к одному основанию показатели равны соответственно \(1\), \(2\), \(1\), \(3\).