Реши и нарисуй номера

Краткий ответ

1. Остальные углы: \(65^\circ,\ 115^\circ,\ 115^\circ\).
2. \(25\frac57^\circ\) и \(154\frac27^\circ\).
3. \(100^\circ\) и \(80^\circ\).
4. \(72^\circ\) и \(108^\circ\).
5. Два угла по \(60^\circ\), два по \(120^\circ\).
6. \(40^\circ\) и \(100^\circ\).
7. \(22{,}5^\circ\) и \(157{,}5^\circ\) \((22^\circ30'\) и \(157^\circ30')\).
8. \(90^\circ\) — при порядке лучей \(OA, OB, OC, OA_1\).
9. \(18^\circ\) и \(162^\circ\).
10. Остальные углы: \(35^\circ,\ 145^\circ,\ 145^\circ\).
11. \(54^\circ\) и \(126^\circ\).
12. Численно определить нельзя: \(\angle MNK+\angle KNP=90^\circ\).

Решение и схемы

Схемы условные, не в масштабе. Используем:

• вертикальные углы равны;
• смежные углы в сумме дают \(180^\circ\);
• части развёрнутого угла дают \(180^\circ\);
• части прямого угла дают \(90^\circ\).

1.

             65°
              ╲ ╱
       115°    O    115°
              ╱ ╲
             65°

Смежный угол:

\[ 180^\circ-65^\circ=115^\circ. \]

Вертикальный угол равен \(65^\circ\). Поэтому углы: \(65^\circ,\ 115^\circ,\ 65^\circ,\ 115^\circ\).

---

2.

A────────B────────C
          ↗ D
     ∠ABD = 6x,  ∠DBC = x

Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший — \(6x\).

\[ x+6x=180^\circ, \]

\[ 7x=180^\circ,\qquad x=\frac{180^\circ}{7}=25\frac57^\circ. \]

\[ 6x=154\frac27^\circ. \]

Проверка:

\[ 25\frac57^\circ+154\frac27^\circ=180^\circ. \]

---

3.

A────────B────────C
          ↗ D
     ∠ABD = 5x,  ∠DBC = 4x

\[ 5x+4x=180^\circ, \]

\[ 9x=180^\circ,\qquad x=20^\circ. \]

\[ 5x=100^\circ,\qquad 4x=80^\circ. \]

---

4.

A────────B────────C
          ↗ D
   ∠ABD = x+36°,  ∠DBC = x

\[ x+(x+36^\circ)=180^\circ, \]

\[ 2x=144^\circ,\qquad x=72^\circ. \]

Второй угол:

\[ 72^\circ+36^\circ=108^\circ. \]

---

5.

             60°
              ╲ ╱
       120°    O    120°
              ╱ ╲
             60°

Смежные углы не могут иметь сумму \(120^\circ\), так как их сумма равна \(180^\circ\). Значит, взяты вертикальные углы.

\[ 2x=120^\circ,\qquad x=60^\circ. \]

Смежные с ними углы:

\[ 180^\circ-60^\circ=120^\circ. \]

---

6.

              C      B
             ↖      ↗
A────────────O

Пусть части угла относятся как \(2x:5x\).

\[ 2x+5x=140^\circ, \]

\[ 7x=140^\circ,\qquad x=20^\circ. \]

\[ 2x=40^\circ,\qquad 5x=100^\circ. \]

Проверка:

\[ 40^\circ+100^\circ=140^\circ,\qquad 40:100=2:5. \]

---

7.

A────────B────────C
          ↗ D
      x и 7x

\[ x+7x=180^\circ, \]

\[ 8x=180^\circ,\qquad x=22{,}5^\circ. \]

Второй угол:

\[ 7x=157{,}5^\circ. \]

---

8.

        B
       ↖
A──────O──────A₁
          ↑
          C

При порядке лучей \(OA,OB,OC,OA_1\):

\[ 60^\circ+30^\circ+\angle A_1OC=180^\circ. \]

\[ \angle A_1OC=180^\circ-60^\circ-30^\circ=90^\circ. \]

---

9.

A────────B────────C
          ↗ D
      x и 9x

\[ x+9x=180^\circ, \]

\[ 10x=180^\circ,\qquad x=18^\circ. \]

Второй угол:

\[ 9x=162^\circ. \]

---

10.

             35°
              ╲ ╱
       145°    O    145°
              ╱ ╲
             35°

Смежный угол:

\[ 180^\circ-35^\circ=145^\circ. \]

Вертикальный угол равен \(35^\circ\). Значит, углы: \(35^\circ,\ 145^\circ,\ 35^\circ,\ 145^\circ\).

---

11.

A────────B────────C
          ↗ D
      3x и 7x

\[ 3x+7x=180^\circ, \]

\[ 10x=180^\circ,\qquad x=18^\circ. \]

\[ 3x=54^\circ,\qquad 7x=126^\circ. \]

---

12.

        P
        │
    K  ╱
      ╱
M────N

Луч \(NK\) делит прямой угол \(MNP\), поэтому:

\[ \angle MNK+\angle KNP=90^\circ. \]

Численные значения найти нельзя без дополнительного условия. Например, это могут быть \(30^\circ\) и \(60^\circ\) или \(45^\circ\) и \(45^\circ\).