Реши задание на изображении

Разберём подробно выражение

\[ \frac{2a^2-5a-3}{3a-9}. \]

1. Найдём область допустимых значений

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

\[ 3a-9\ne0. \]

Решим это неравенство:

\[ 3a\ne9,\qquad a\ne3. \]

Значит, сразу запоминаем ограничение:

\[ a\ne3. \]

2. Разложим числитель на множители

Числитель:

\[ 2a^2-5a-3. \]

Разложим средний член \(-5a\) на \(a-6a\):

\[ 2a^2-5a-3=2a^2+a-6a-3. \]

Сгруппируем слагаемые:

\[ (2a^2+a)+(-6a-3). \]

Вынесем общий множитель из каждой группы:

\[ a(2a+1)-3(2a+1). \]

Теперь общий множитель \((2a+1)\) можно вынести за скобки:

\[ (2a+1)(a-3Решим разложение числителя **через дискриминант**: \[ \frac{2a^2-5a-3}{3a-9}. \]

1. Найдём корни квадратного трёхчлена

Рассмотрим уравнение:

\[ 2a^2-5a-3=0. \]

Здесь

\[ A=2,\qquad B=-5,\qquad C=-3. \]

Дискриминант:

\[ D=B^2-4AC=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3) \]

\[ D=25+24=49. \]

Так как \(D>0\), уравнение имеет два корня:

\[ a_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A} =\frac{5+7}{4}=3, \]

\[ a_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A} =\frac{5-7}{4}=-\frac12. \]

Значит,

\[ 2a^2-5a-3=A(a-a_1)(a-a_2). \]

Подставим найденные значения:

\[ 2a^2-5a-3 =2(a-3)\left(a+\frac12\right). \]

Умножим \(2\) на вторую скобку:

\[ 2(a-3)\left(a+\frac12\right) =(a-3)(2a+1). \]

2. Разложим знаменатель

\[ 3a-9=3(a-3). \]

Тогда исходная дробь имеет вид:

\[ \frac{(a-3)(2a+1)}{3(a-3)}. \]

Сокращаем \(a-3\):

\[ \boxed{\frac{2a+1}{3}}. \]

Но исходный знаменатель не должен быть равен нулю:

\[ 3a-9\ne0 \quad\Rightarrow\quad a\ne3. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{2a+1}{3},\quad a\ne3}. \]