Реши задание на изображении
Краткие ответы
а) \(8\); б) \(4\); в) \(8\); г) \(3\); д) \(\dfrac23\).
\[ \boxed{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}} \]
\[ \min y=0,\qquad \max y=16. \]
\[ y=x^3:\ D(y)=\mathbb R,\ E(y)=\mathbb R; \] \[ y=x^{-3}=\frac1{x^3}:\ D(y)=\mathbb R\setminus\{0\},\ E(y)=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
а) \(x=0\); б) \(x=5\).
а) \(x\in(11;+\infty)\);
б) \(x\in(-\infty;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty)\).
Решение
1. Вычислите
а)
\[
64^{\frac12}=\sqrt{64}=8.
\]
б)
\[
8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4.
\]
в) При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \[ 2^{\frac45}\cdot2^{\frac{11}{5}} =2^{\frac45+\frac{11}{5}} =2^{\frac{15}{5}} =2^3=8. \]
г) При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \[ 9^{\frac23}:9^{\frac16} =9^{\frac23-\frac16} =9^{\frac46-\frac16} =9^{\frac12}=3. \]
д)
\[
\left(\frac8{27}\right)^{\frac13}
=\sqrt[3]{\frac8{27}}
=\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}
=\frac23.
\]
2. Сократите дробь
\[ \frac{\sqrt a-\sqrt b}{a^{\frac14}-b^{\frac14}}. \]
Представим квадратные корни как квадраты корней четвёртой степени:
\[ \sqrt a=\left(\sqrt[4]{a}\right)^2,\qquad \sqrt b=\left(\sqrt[4]{b}\right)^2. \]
Тогда:
\[ \frac{\left(\sqrt[4]{a}\right)^2-\left(\sqrt[4]{b}\right)^2} {\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}. \]
Используем формулу разности квадратов:
\[ u^2-v^2=(u-v)(u+v). \]
Получаем:
\[ \frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})} {\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}} =\boxed{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}. \]
3. Наибольшее и наименьшее значения
\[ y=x^4,\qquad x\in[-1;2]. \]
Проверим значение в точке \(x=0\) и на концах отрезка:
\[ y(-1)=(-1)^4=1, \] \[ y(0)=0^4=0, \] \[ y(2)=2^4=16. \]
Следовательно,
\[ \boxed{y_{\min}=0},\qquad \boxed{y_{\max}=16}. \]
4. Область определения, множество значений и графики
Функция \(y=x^3\)
Куб можно возвести в любую степень \(x\), поэтому:
\[ D(y)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=(-\infty;+\infty). \]
Для построения можно отметить точки:
\[ (-2;-8),\quad(-1;-1),\quad(0;0),\quad(1;1),\quad(2;8). \]
График — возрастающая кубическая парабола, проходящая через начало координат.
Функция \(y=x^{-3}\)
\[ y=x^{-3}=\frac1{x^3}. \]
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому:
\[ D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]
Значение \(y=0\) функция также не принимает:
\[ E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]
Точки для построения:
\[ (-2;-\tfrac18),\quad (-1;-1),\quad (-\tfrac12;-8), \] \[ (\tfrac12;8),\quad (1;1),\quad (2;\tfrac18). \]
График имеет две ветви — в I и III координатных четвертях. Прямые \(x=0\) и \(y=0\) являются его асимптотами.
Графики пересекаются в точках:
\[ (-1;-1)\quad\text{и}\quad(1;1). \]
5. Решите уравнения
а)
\[ x+1=\sqrt{1-x}. \]
ОДЗ:
\[ 1-x\ge0\Rightarrow x\le1. \]
Правая часть неотрицательна, значит:
\[ x+1\ge0\Rightarrow x\ge-1. \]
Возводим в квадрат:
\[ (x+1)^2=1-x, \] \[ x^2+2x+1=1-x, \] \[ x^2+3x=0, \] \[ x(x+3)=0. \]
Кандидаты:
\[ x=0,\qquad x=-3. \]
Условию \(x\ge-1\) удовлетворяет только \(x=0\).
Проверка:
\[ 0+1=\sqrt{1-0}\Rightarrow1=1. \]
\[ \boxed{x=0} \]
б)
\[ \sqrt{x-1}=x-3. \]
Так как корень неотрицателен, необходимо:
\[ x-3\ge0\Rightarrow x\ge3. \]
Возводим в квадрат:
\[ x-1=(x-3)^2, \] \[ x-1=x^2-6x+9, \] \[ x^2-7x+10=0, \] \[ (x-5)(x-2)=0. \]
Кандидаты:
\[ x=5,\qquad x=2. \]
Условию \(x\ge3\) подходит только \(x=5\).
Проверка:
\[ \sqrt{5-1}=5-3\Rightarrow2=2. \]
\[ \boxed{x=5} \]
6. Решите неравенства
а)
\[ \sqrt{x-2}>3. \]
ОДЗ:
\[ x-2\ge0\Rightarrow x\ge2. \]
Обе части неотрицательны, поэтому возводим в квадрат:
\[ x-2>9, \] \[ x>11. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(11;+\infty)}. \]
б)
\[ \sqrt{x^2-1}>1. \]
ОДЗ:
\[ x^2-1\ge0. \]
Обе части неотрицательны, поэтому:
\[ x^2-1>1, \] \[ x^2>2. \]
Отсюда:
\[ x<-\sqrt2\quad\text{или}\quad x>\sqrt2. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty)}. \]
