Реши задание на изображении
Чёткая формулировка
Я вижу, что в инструкциях упоминается добавление заключительной строки после основного ответа, если существует следующий значимый шаг. Думаю, важно элегантно это сформулировать. С термином «диагональ» может возникнуть неоднозначность относительно направления — в частности, от общей начальной точки к противоположной вершине. Я позабочусь о том, чтобы ясно указать это в ответе. Давайте подготовим окончательный ответ!
Краткий ответ. Пусть из точки \(O\) проведены два неколлинеарных вектора \(\vec a\) и \(\vec b\). Для каждого пункта постройте указанные кратные векторы и сложите их по правилу параллелограмма.
- \(\boxed{2\vec a+\frac12\vec b}\): \(2\vec a\) и \(\frac12\vec b\).
- \(\boxed{2\vec b+\vec a}\): \(2\vec b\) и \(\vec a\).
- \(\boxed{2\vec a-2\vec b=2\vec a+(-2\vec b)}\).
- \(\boxed{-2\vec a+\frac12\vec b}\).
- \(\boxed{\frac23\vec a-\vec b=\frac23\vec a+(-\vec b)}\).
Как строить
- \(2\vec a\) — вектор того же направления, но в 2 раза длиннее.
- \(\frac12\vec b\) — вектор того же направления, но в 2 раза короче.
- \(\frac23\vec a\) — вектор того же направления длиной \(\frac23|\vec a|\).
- \(-\vec b\) и \(-2\vec a\) направлены противоположно исходным векторам.
- Для сложения перенесите векторы так, чтобы их начала совпали, и достройте параллелограмм. Диагональ из общего начала — искомая сумма.
Например, если взять \(\vec a=(3,0)\), \(\vec b=(0,3)\), то получим:
\[ \begin{aligned} 1)&\ (6;\tfrac32),\\ 2)&\ (3;6),\\ 3)&\ (6;-6),\\ 4)&\ (-6;\tfrac32),\\ 5)&\ (2;-3). \end{aligned} \]
Обсуждение
2 сообщенияКак решать
Такие задания решаются геометрически: сначала строят кратные векторы, затем складывают их.
1. Как построить \(k\vec a\)
Число перед вектором изменяет его длину и направление:
- \(2\vec a\) — направление как у \(\vec a\), длина в 2 раза больше;
- \(\frac12\vec a\) — направление как у \(\vec a\), длина в 2 раза меньше;
- \(-\vec a\) — такая же длина, но противоположное направление;
- \(-2\vec a\) — направление противоположное \(\vec a\), длина в 2 раза больше.
2. Как сложить два вектора
Чтобы построить \(\vec u+\vec v\):
- От одной точки отложите \(\vec u\) и \(\vec v\).
- Достройте параллелограмм.
- Диагональ из общей начальной точки — это \(\vec u+\vec v\).
Также можно отложить второй вектор от конца первого: итоговый вектор соединяет начало первого с концом второго.
Пример
Для выражения
\[ 2\vec a+\frac12\vec b \]
нужно:
- Построить из точки \(O\) вектор \(2\vec a\).
- Из той же точки построить \(\frac12\vec b\).
- Достроить параллелограмм.
- Провести диагональ из \(O\). Она и есть искомый вектор.
Остальные выражения строятся так же:
\[ \begin{aligned} 2)&\quad 2\vec b+\vec a;\\ 3)&\quad 2\vec a-2\vec b=2\vec a+(-2\vec b);\\ 4)&\quad -2\vec a+\frac12\vec b;\\ 5)&\quad \frac23\vec a-\vec b=\frac23\vec a+(-\vec b). \end{aligned} \]
Главное правило: минус перед вектором означает противоположное направление.
