Реши задание на изображении
Краткий ответ
(В №1 показатель читается как \(4-2x\), а в №5 правая часть — \(1\frac13\).)
- \(x=3\)
- \(x=0;\ 2\)
- \(x=3\)
- \(x=-3;\ 3\)
- \(\displaystyle x=\log_{\frac37}\frac43\approx-0{,}340\)
- \(x=-1;\ 1\)
- \(\displaystyle x=\frac{9-\sqrt{17}}4;\ \frac{9+\sqrt{17}}4\)
Решение
Используем свойства:
\[ a^u=a^v\Longrightarrow u=v,\qquad a^u=1\Longrightarrow u=0 \]
при \(a>0,\ a\ne1\).
1.
\[ \left(\frac13\right)^{4-2x}=9 \]
Так как
\[ 9=\left(\frac13\right)^{-2}, \]
то
\[ 4-2x=-2,\qquad x=3. \]
2.
\[ 0{,}8^{2x-x^2}=1 \]
Основание не равно \(1\), значит:
\[ 2x-x^2=0, \]
\[ x(2-x)=0. \]
Отсюда:
\[ x=0\quad\text{или}\quad x=2. \]
3.
\[ \left(\frac15\right)^{3-2x}=125 \]
\[ 125=5^3=\left(\frac15\right)^{-3}. \]
Следовательно,
\[ 3-2x=-3, \]
\[ x=3. \]
4.
\[ 0{,}4^{9-x^2}=1 \]
\[ 9-x^2=0,\qquad x^2=9. \]
Значит,
\[ x=-3\quad\text{или}\quad x=3. \]
5.
\[ \left(\frac37\right)^x=1\frac13=\frac43. \]
По определению логарифма:
\[ x=\log_{\frac37}\frac43 =\frac{\ln\frac43}{\ln\frac37} \approx-0{,}340. \]
6.
\[ \left(\frac2{13}\right)^{x^2-1}=1 \]
\[ x^2-1=0,\qquad x^2=1. \]
Поэтому:
\[ x=-1\quad\text{или}\quad x=1. \]
7.
\[ 3^{2x^2-9x+10}=9=3^2. \]
Приравниваем показатели:
\[ 2x^2-9x+10=2, \]
\[ 2x^2-9x+8=0. \]
По формуле корней:
\[ x=\frac{9\pm\sqrt{(-9)^2-4\cdot2\cdot8}}{4} =\frac{9\pm\sqrt{17}}4. \]
Проверка: в №1, №3 и №7 показатель становится равен показателю соответствующей степени, а в №2, №4 и №6 показатель равен нулю, поэтому левая часть равна \(1\).
