Комплексные числа уже заданы, но отдельного уравнения или действия между ними нет. Что именно нужно сделать для каждого: найти модуль и аргумент и построить 2 графика?

Дано

\[ z_1=-7+7i,\qquad z_2=6+6i. \]

Для комплексного числа \(z=a+bi\):

• точка на комплексной плоскости имеет координаты \((a;b)\);
• модуль: \[ |z|=\sqrt{a^2+b^2}; \]
• аргумент — угол между положительным направлением действительной оси и вектором \(Oz\).

---

1. Комплексное число \(z_1=-7+7i\)

Координаты точки

\[ \operatorname{Re}z_1=-7,\qquad \operatorname{Im}z_1=7. \]

Значит, числу \(z_1\) соответствует точка

\[ M_1(-7;7). \]

Она находится во II четверти.

Модуль

\[ |z_1|=\sqrt{(-7)^2+7^2} =\sqrt{49+49} =\sqrt{98} =7\sqrt2. \]

Аргумент

Так как

\[ \tan\alpha=\left|\frac{7}{-7}\right|=1, \]

то острый угол равен

\[ \alpha=\frac{\pi}{4}=45^\circ. \]

Точка находится во II четверти, поэтому

\[ \varphi_1=\pi-\frac{\pi}{4} =\frac{3\pi}{4} =135^\circ. \]

Главный аргумент:

\[ \boxed{\operatorname{Arg}z_1=\frac{3\pi}{4}}. \]

Общий аргумент:

\[ \arg z_1=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]

Тригонометрическая форма

\[ \boxed{ z_1=7\sqrt2 \left( \cos\frac{3\pi}{4} +i\sin\frac{3\pi}{4} \right) } \]

Также можно записать в показательной форме:

\[ \boxed{z_1=7\sqrt2\,e^{i3\pi/4}}. \]

График \(z_1\)

                 Im z
                   ↑
       8           │
       7      ●────┼
              z₁   │
       6           │
       5           │
       4           │
       3           │
       2           │
       1           │
       0 ──────────┼────────────────→ Re z
                  O
      -8  -7  -6  -5  -4  -3  -2  -1  0

Точка \(z_1\) имеет координаты \((-7;7)\), а её радиус-вектор образует с положительной полуосью \(Ox\) угол \(135^\circ\).

---

2. Комплексное число \(z_2=6+6i\)

Координаты точки

\[ \operatorname{Re}z_2=6,\qquad \operatorname{Im}z_2=6. \]

Следовательно, числу \(z_2\) соответствует точка

\[ M_2(6;6). \]

Она находится в I четверти.

Модуль

\[ |z_2|=\sqrt{6^2+6^2} =\sqrt{36+36} =\sqrt{72} =6\sqrt2. \]

Аргумент

\[ \tan\alpha=\frac{6}{6}=1, \]

поэтому

\[ \alpha=\frac{\pi}{4}=45^\circ. \]

Точка находится в I четверти, значит

\[ \boxed{\operatorname{Arg}z_2=\frac{\pi}{4}}. \]

Общий аргумент:

\[ \arg z_2=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]

Тригонометрическая форма

\[ \boxed{ z_2=6\sqrt2 \left( \cos\frac{\pi}{4} +i\sin\frac{\pi}{4} \right) } \]

Показательная форма:

\[ \boxed{z_2=6\sqrt2\,e^{i\pi/4}}. \]

График \(z_2\)

                 Im z
                   ↑
       7           │
       6           ┼────────● z₂
       5           │         (6;6)
       4           │
       3           │
       2           │
       1           │
       0 ──────────┼────────────────→ Re z
                  O
                   1  2  3  4  5  6  7

Точка \(z_2\) имеет координаты \((6;6)\), а её радиус-вектор образует с положительной полуосью \(Ox\) угол \(45^\circ\).

---

Ответ

\[ \boxed{ |z_1|=7\sqrt2,\qquad \operatorname{Arg}z_1=\frac{3\pi}{4}=135^\circ } \]

\[ \boxed{ |z_2|=6\sqrt2,\qquad \operatorname{Arg}z_2=\frac{\pi}{4}=45^\circ } \]

Понял. По фото нужно найти сумму комплексных чисел, как в примере в тетради.

Дано

\[ z_1=-7+7i,\qquad z_2=6+6i. \]

Решение

Складываем отдельно действительные части и отдельно коэффициенты при \(i\):

\[ \begin{aligned} z_1+z_2&=(-7+7i)+(6+6i)\\ &=(-7+6)+(7+6)i\\ &=-1+13i. \end{aligned} \]

Ответ

\[ \boxed{z_1+z_2=-1+13i} \]

---

График \(z_1=-7+7i\)

На комплексной плоскости:

• по горизонтали откладываем действительную часть \(-7\);
• по вертикали — мнимую часть \(7\).

Точка:

\[ A(-7;7). \]

        Im z
          ↑
      8   │
      7 ● │  A(-7; 7)
      6   │
      5   │
      4   │
      3   │
      2   │
      1   │
      0───┼────────────────→ Re z
         -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1  0

---

График \(z_2=6+6i\)

Точка имеет координаты:

\[ B(6;6). \]

        Im z
          ↑
      7   │
      6   │              ● B(6; 6)
      5   │
      4   │
      3   │
      2   │
      1   │
      0───┼────────────────────────→ Re z
          0  1  2  3  4  5  6  7

Для результата \(z_1+z_2=-1+13i\) координаты точки будут:

\[ C(-1;13). \]

Да, это продолжение текущего задания. По образцу нужно не складывать \(z_1\) и \(z_2\), а найти координаты самих чисел, противоположных и сопряжённых, затем отметить их на комплексной плоскости.

Для числа \(z=x+yi\):

\[ z\leftrightarrow (x;y), \]

где \(x\) — координата по действительной оси, \(y\) — по мнимой оси.

---

1. Число \(z_1=-7+7i\)

Само число

\[ z_1=-7+7i \]

\[ x_1=-7,\qquad y_1=7. \]

Точка:

\[ \boxed{z_1(-7;7)}. \]

Противоположное число

\[ -z_1=-(-7+7i)=7-7i. \]

\[ \boxed{-z_1(7;-7)}. \]

Сопряжённое число

При сопряжении меняется знак мнимой части:

\[ \overline{z_1}=-7-7i. \]

\[ \boxed{\overline{z_1}(-7;-7)}. \]

Противоположное сопряжённому

\[ -\overline{z_1}=7+7i. \]

\[ \boxed{-\overline{z_1}(7;7)}. \]

Первый график

                         Im z
                           ↑

        z₁(-7;7) ●        │        ● -z̄₁(7;7)
                           │
                           │
Re z  ←────────────────────O────────────────────→ Re z
                           │
                           │
  z̄₁(-7;-7) ●             │             ● -z₁(7;-7)

                           ↓

---

2. Число \(z_2=6+6i\)

Само число

\[ z_2=6+6i \]

\[ x_2=6,\qquad y_2=6. \]

Точка:

\[ \boxed{z_2(6;6)}. \]

Противоположное число

\[ -z_2=-(6+6i)=-6-6i. \]

\[ \boxed{-z_2(-6;-6)}. \]

Сопряжённое число

\[ \overline{z_2}=6-6i. \]

\[ \boxed{\overline{z_2}(6;-6)}. \]

Противоположное сопряжённому

\[ -\overline{z_2}=-6+6i. \]

\[ \boxed{-\overline{z_2}(-6;6)}. \]

Второй график

                         Im z
                           ↑

 -z̄₂(-6;6) ●             │             ● z₂(6;6)
                           │
                           │
Re z  ←────────────────────O────────────────────→ Re z
                           │
                           │
 -z₂(-6;-6) ●             │             ● z̄₂(6;-6)

                           ↓

---

Итоговая таблица

\[ \begin{array}{c|c|c} \text{Число} & \text{Алгебраическая форма} & \text{Координаты} \\ \hline z_1 & -7+7i & (-7;7)\\ -z_1 & 7-7i & (7;-7)\\ \overline{z_1} & -7-7i & (-7;-7)\\ -\overline{z_1} & 7+7i & (7;7)\\ \hline z_2 & 6+6i & (6;6)\\ -z_2 & -6-6i & (-6;-6)\\ \overline{z_2} & 6-6i & (6;-6)\\ -\overline{z_2} & -6+6i & (-6;6) \end{array} \]

Предыдущий вариант с суммой \(z_1+z_2\) здесь не нужен: в этом задании требуется именно построение точек на комплексной плоскости.

Вот 2 графика для комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\).
По горизонтали откладывается \(\operatorname{Re}z\), по вертикали — \(\operatorname{Im}z\).

График 1: \(z_1=-7+7i\)

Точки:

\[ z_1(-7;7),\qquad \overline{z_1}(-7;-7),\qquad -z_1(7;-7),\qquad -\overline{z_1}(7;7). \]

                              Im z
                                ↑

           z₁(-7;7) ●           │           ● -z̄₁(7;7)
                                │
                                │
                                │
Re z  ←──────────────────────── O ───────────────────────→ Re z
                                │
                                │
           z̄₁(-7;-7) ●         │         ● -z₁(7;-7)
                                │
                                ↓

---

График 2: \(z_2=6+6i\)

Точки:

\[ z_2(6;6),\qquad \overline{z_2}(6;-6),\qquad -z_2(-6;-6),\qquad -\overline{z_2}(-6;6). \]

                              Im z
                                ↑

          -z̄₂(-6;6) ●          │          ● z₂(6;6)
                                │
                                │
                                │
Re z  ←──────────────────────── O ───────────────────────→ Re z
                                │
                                │
          -z₂(-6;-6) ●          │          ● z̄₂(6;-6)
                                │
                                ↓

Что отметить в тетради

• \(z_1\) и \(z_2\) — исходные точки;
• \(\overline z\) получается отражением относительно действительной оси;
• \(-z\) получается отражением относительно начала координат \(O\);
• \(-\overline z\) — отражением относительно мнимой оси.