Разобрать тему алгебра Тождества.Тождественные преобразования выражений

Краткий ответ.
Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях переменных.
Тождественное преобразование — замена выражения другим, равным ему по значению.

Например:

\[ 3(x+2)=3x+6 \]

Это тождество, потому что равенство верно при любом \(x\).

Основные правила

1. Раскрытие скобок:

\[ a(b+c)=ab+ac \]

\[ a(b-c)=ab-ac \]

Если перед скобками стоит минус, знаки внутри меняются:

\[ -(a+b)=-a-b \]

\[ -(a-b)=-a+b \]

2. Приведение подобных слагаемых

Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть:

\[ 3x+5x=8x \]

\[ 7a-2a+4=5a+4 \]

Но \(3x\) и \(5y\) подобными не являются.

3. Вынесение общего множителя

Это обратное раскрытию скобок преобразование:

\[ 6x+9=3(2x+3) \]

Пример

Упростим выражение:

\[ 4(2x-3)-3(x+1) \]

Сначала раскроем скобки:

\[ 4(2x-3)-3(x+1)=8x-12-3x-3 \]

Теперь приведём подобные слагаемые:

\[ 8x-3x-12-3=5x-15 \]

Ответ:

\[ \boxed{5x-15} \]

Проверка

Возьмём \(x=2\).

Исходное выражение:

\[ 4(2\cdot2-3)-3(2+1)=4\cdot1-3\cdot3=4-9=-5 \]

Полученное выражение:

\[ 5\cdot2-15=10-15=-5 \]

Значения совпали.

Алгоритм преобразования

1. Внимательно раскрыть скобки.
2. Учесть знаки перед скобками.
3. Найти подобные слагаемые.
4. Сложить или вычесть их коэффициенты.
5. При необходимости проверить результат подстановкой.

Важно: проверка одним числом помогает обнаружить ошибку, но тождество доказывается всей цепочкой преобразований.