Реши всё

Краткие ответы

1. Материальная точка — тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Автомобиль на междугороднем маршруте можно считать материальной точкой, а при въезде в гараж — нельзя.

2. При прямолинейном движении в одном направлении \(s=|\vec{\Delta r}|\). При криволинейном движении путь обычно больше модуля перемещения. Например, для полуокружности: \(s=\pi R\), а \(|\vec{\Delta r}|=2R\).

3. Числа в пропусках отсутствуют. Если скорость \(v\) км/ч, а время \(t\) минут, то \[ s=\frac{vt}{60}\text{ км}. \]

4. \[ x_{10}=4,\quad v_1=3; \qquad x_{20}=20,\quad v_2=-2. \] Тела движутся навстречу друг другу. Встреча: \[ t=3{,}2\text{ с},\qquad x=13{,}6\text{ м}. \]

5. Средняя скорость: \[ v_{\text{ср}}=54\text{ км/ч}. \]

6. Если \(a=A\text{ м/с}^2\), это означает, что за каждую секунду скорость изменяется на \(A\text{ м/с}\). Время разгона зависит от конечной скорости; без неё однозначного ответа нет.

7. Максимальная высота: \[ h=5\text{ м} \] при \(g\approx10\text{ м/с}^2\). Решение ученика неверно: скорость при подъёме не постоянна.

8. График проходит через точки \[ (0;0),\ (3;3),\ (5;3),\ (9;0). \] Весь путь: \[ s=16{,}5\text{ м}. \]

---

Подробное решение

Задание 1

Материальная точка — это модель тела, при которой его размерами и формой можно пренебречь, но массу учитывать необходимо.

Примеры:

• автомобиль, движущийся из одного города в другой, можно считать материальной точкой;
• этот же автомобиль при въезде в гараж нельзя считать материальной точкой, потому что важны его длина и ширина.

Возможность считать тело материальной точкой зависит от конкретной задачи.

---

Задание 2

Путь — это длина траектории движения.

Перемещение — это направленный отрезок от начального положения тела к конечному.

Если тело движется по прямой и не меняет направления, траектория является прямым отрезком, поэтому

\[ s=|\vec{\Delta r}|. \]

При движении по кривой тело проходит более длинную траекторию, чем длина отрезка между начальной и конечной точками.

Например, тело движется по полуокружности радиуса \(R\):

\[ s=\pi R, \]

а модуль перемещения равен диаметру:

\[ |\vec{\Delta r}|=2R. \]

Так как \(\pi R>2R\), путь не равен модулю перемещения.

---

Задание 3

В условии вместо чисел оставлены пропуски.

Пусть скорость велосипедиста равна \(v\) км/ч, а время движения — \(t\) минут. Переведём минуты в часы:

\[ t_{\text{ч}}=\frac{t}{60}. \]

Тогда путь равен:

\[ s=vt_{\text{ч}}=\frac{vt}{60}\text{ км}. \]

Чтобы получить численный ответ, нужны значения скорости и времени.

---

Задание 4

Даны уравнения:

\[ x_1=4+3t, \qquad x_2=20-2t. \]

1. Начальные координаты и скорости

Начальная координата получается при \(t=0\):

\[ x_1(0)=4, \qquad x_2(0)=20. \]

Скорость равна коэффициенту при \(t\):

\[ v_1=3, \qquad v_2=-2. \]

Если координата измеряется в метрах, а время — в секундах, то:

\[ v_1=3\text{ м/с},\qquad v_2=-2\text{ м/с}. \]

2. Направления движения

• \(v_1=3>0\), поэтому первое тело движется в положительном направлении оси \(x\);
• \(v_2=-2<0\), поэтому второе тело движется в отрицательном направлении оси \(x\).

Тела движутся навстречу друг другу.

3. Аналитическое решение

В момент встречи координаты тел равны:

\[ 4+3t=20-2t. \]

Отсюда:

\[ 5t=16, \qquad t=\frac{16}{5}=3{,}2\text{ с}. \]

Найдём координату встречи:

\[ x=4+3\cdot3{,}2=4+9{,}6=13{,}6\text{ м}. \]

Проверка по второму уравнению:

\[ x=20-2\cdot3{,}2=20-6{,}4=13{,}6\text{ м}. \]

4. Графическое решение

На графике \(x(t)\):

• график \(x_1=4+3t\) — прямая, начинающаяся в точке \((0;4)\) и идущая вверх;
• график \(x_2=20-2t\) — прямая, начинающаяся в точке \((0;20)\) и идущая вниз.

Точка пересечения этих прямых:

\[ (3{,}2;\ 13{,}6). \]

---

Задание 5

Пусть весь путь мотоциклиста равен \(S\).

Первая часть пути:

\[ s_1=\frac{S}{3}, \qquad v_1=45\text{ км/ч}. \]

Время движения на первой части:

\[ t_1=\frac{S/3}{45}=\frac{S}{135}. \]

Оставшаяся часть пути:

\[ s_2=\frac{2S}{3}, \qquad v_2=60\text{ км/ч}. \]

Время движения на второй части:

\[ t_2=\frac{2S/3}{60}=\frac{S}{90}. \]

Общее время:

\[ t=t_1+t_2=\frac{S}{135}+\frac{S}{90}. \]

Средняя скорость:

\[ v_{\text{ср}}=\frac{S}{t} = \frac{S}{\frac{S}{135}+\frac{S}{90}} = \frac{1}{\frac1{135}+\frac1{90}} =54\text{ км/ч}. \]

Проверка: \(54\text{ км/ч}\) находится между \(45\) и \(60\text{ км/ч}\), что разумно.

---

Задание 6

Пусть автомобиль движется с ускорением

\[ a=A\text{ м/с}^2. \]

Число \(A\) показывает, на сколько метров в секунду изменяется скорость автомобиля за каждую секунду.

Например, если

\[ a=3\text{ м/с}^2, \]

то за одну секунду скорость увеличивается на \(3\text{ м/с}\), за две секунды — на \(6\text{ м/с}\), если ускорение постоянно.

Основная формула:

\[ v=v_0+at. \]

Отсюда время разгона до конечной скорости \(v_{\text{к}}\):

\[ t=\frac{v_{\text{к}}-v_0}{a}. \]

Если конечная скорость остаётся одной и той же, а начальная скорость увеличивается от \(v_0\) до \(2v_0\), то:

\[ t_2=\frac{v_{\text{к}}-2v_0}{a}. \]

Время уменьшится, но не обязательно в два раза. Точное изменение зависит от конечной скорости.

Если же требуется сообщить одну и ту же прибавку скорости \(\Delta v\), то

\[ t=\frac{\Delta v}{a}, \]

и начальная скорость на это время не влияет.

---

Задание 7

Начальная скорость камня:

\[ v_0=10\text{ м/с}. \]

В верхней точке траектории скорость становится равной нулю:

\[ v=0. \]

При \(g=10\text{ м/с}^2\):

\[ v=v_0-gt. \]

Найдём время подъёма:

\[ 0=10-10t, \qquad t=1\text{ с}. \]

Но формула

\[ h=vt \]

применима при равномерном движении, когда скорость постоянна. Камень движется с ускорением свободного падения, поэтому его скорость постепенно уменьшается от \(10\) до \(0\).

Используем формулу перемещения при равноускоренном движении:

\[ h=v_0t-\frac{gt^2}{2}. \]

Подставим значения:

\[ h=10\cdot1-\frac{10\cdot1^2}{2} =10-5=5\text{ м}. \]

Ответ:

\[ \boxed{h=5\text{ м}}. \]

Решение ученика неверно. Время \(t=1\text{ с}\) найдено правильно, но скорость нельзя считать постоянной и равной \(10\text{ м/с}\).

---

Задание 8

Построение графика

Первые \(3\) секунды:

\[ v_0=0,\qquad a=1\text{ м/с}^2. \]

Скорость к концу третьей секунды:

\[ v=at=1\cdot3=3\text{ м/с}. \]

Следующие \(2\) секунды тело движется равномерно со скоростью \(3\text{ м/с}\).

Последние \(4\) секунды тело равнозамедленно останавливается: скорость уменьшается от \(3\) до \(0\text{ м/с}\).

График \(v(t)\) имеет вид:

v, м/с
3 |        ______
  |       /      \
0 |______/        \____
     0   3   5      9   t, с

Кусочная формула:

\[ v(t)= \begin{cases} t, & 0\le t\le3,\\[4pt] 3, & 3\le t\le5,\\[4pt] 3-0{,}75(t-5), & 5\le t\le9. \end{cases} \]

Путь

Путь равен площади под графиком скорости.

За первые \(3\) секунды:

\[ s_1=\frac12\cdot3\cdot3=4{,}5\text{ м}. \]

За следующие \(2\) секунды:

\[ s_2=3\cdot2=6\text{ м}. \]

За последние \(4\) секунды:

\[ s_3=\frac12\cdot4\cdot3=6\text{ м}. \]

Весь путь:

\[ s=s_1+s_2+s_3 =4{,}5+6+6 =16{,}5\text{ м}. \]

\[ \boxed{s=16{,}5\text{ м}} \]

В заданиях 3 и 6 не хватает чисел из пропусков, а для однозначного ответа о времени разгона нужна конечная скорость. Какие значения нужно подставить?