2.14 реши и обьясни как это вышло

Краткий ответ:

1. \(x\le 3\), то есть \(x\in(-\infty;3]\);
2. \(x\le 1\), то есть \(x\in(-\infty;1]\);
3. \(x\le 0\), то есть \(x\in(-\infty;0]\);
4. \(x\ge 3{,}5\), то есть \(x\in[3{,}5;+\infty)\);
5. \(x\ge -4\), то есть \(x\in[-4;+\infty)\);
6. \(x\le 35\), то есть \(x\in(-\infty;35]\).

Объяснение

Квадратный корень имеет смысл только тогда, когда выражение под корнем неотрицательно:

\[ \sqrt{a}\text{ существует, если }a\ge 0. \]

Поэтому составляем неравенства.

1. \(\sqrt{3-x}\):

\[ 3-x\ge0 \]

\[ -x\ge-3 \]

При умножении на \(-1\) знак меняется:

\[ x\le3. \]

2. \(\sqrt{3-3x}\):

\[ 3-3x\ge0 \]

\[ -3x\ge-3 \]

\[ x\le1. \]

3. \(\sqrt{-4x}\):

\[ -4x\ge0. \]

Делим на отрицательное число \(-4\), поэтому знак меняется:

\[ x\le0. \]

4. \(\sqrt{x-3{,}5}\):

\[ x-3{,}5\ge0 \]

\[ x\ge3{,}5. \]

5. \(\sqrt{3x+12}\):

\[ 3x+12\ge0 \]

\[ 3x\ge-12 \]

\[ x\ge-4. \]

6. \(\sqrt{7-0{,}2x}\):

\[ 7-0{,}2x\ge0 \]

\[ -0{,}2x\ge-7. \]

Делим на отрицательное число \(-0{,}2\), знак меняется:

\[ x\le\frac{-7}{-0{,}2}=35. \]

Проверка: на границе каждого промежутка выражение под корнем равно \(0\), а значит, корень существует. За границей промежутка подкоренное выражение отрицательно.