номер 2.86

Краткий ответ:

а) \(\operatorname{НОД}(975,750)=75\);

б) \(\operatorname{НОД}(572,440)=44\);

в) \(\operatorname{НОД}(80,140,56)=4\);

г) \(\operatorname{НОД}(170,306,255)=17\).

Решение

Используем алгоритм Евклида: делим большее число на меньшее и заменяем пару на меньшее число и остаток.

а)
\[ 975=750+225, \] \[ 750=3\cdot225+75, \] \[ 225=3\cdot75. \] Последний ненулевой остаток — \(75\), значит, НОД равен \(75\).

б)
\[ 572=440+132, \] \[ 440=3\cdot132+44, \] \[ 132=3\cdot44. \] \[ \operatorname{НОД}=44. \]

в) Для трёх чисел находим НОД последовательно: \[ \operatorname{НОД}(80,140)=20, \] \[ \operatorname{НОД}(20,56)=4. \] Значит, \[ \operatorname{НОД}(80,140,56)=4. \]

г)
\[ 306=170+136, \] \[ 170=136+34, \] \[ 136=4\cdot34, \] поэтому \(\operatorname{НОД}(306,170)=34\).

Теперь: \[ 255=7\cdot34+17, \] \[ 34=2\cdot17. \] Следовательно, \[ \operatorname{НОД}(170,306,255)=17. \]

Проверка: \(17\) делит все три числа: \[ 170=10\cdot17,\quad 306=18\cdot17,\quad 255=15\cdot17. \]