сделай номера 34 (в,г), 35 (в,г), 37 (в,г)

Краткие ответы

• 34 в) \(-2\)
• 34 г) \(\dfrac52=2{,}5\)
• 35 в) \(\dfrac{1}{a-1}\), \(a\ne1\)
• 35 г) \(\dfrac{1}{b^2-2b+4}\), \(b\ne-2\)
• 37 в) \(\dfrac{y-1}{x+y}\), \(x\ne y,\ x\ne -y\)
• 37 г) \(\dfrac{a+c}{a-x}\), \(a\ne x,\ a\ne -c\)

34. Найдите значение дроби

в)

\[ \frac{6x^2+12xy}{5xy+10y^2} = \frac{6x(x+2y)}{5y(x+2y)} = \frac{6x}{5y}. \]

Подставим \(x=\frac23,\ y=-0{,}4\):

\[ \frac{6\cdot \frac23}{5\cdot(-0{,}4)} = \frac{4}{-2} = -2. \]

Проверка: \(x+2y=\frac23-0{,}8=-\frac{2}{15}\ne0\), сокращение допустимо.

г)

\[ \frac{x^2+6xy+9y^2}{4x^2+12xy} = \frac{(x+3y)^2}{4x(x+3y)} = \frac{x+3y}{4x}. \]

Подставим \(x=-0{,}2,\ y=-0{,}6\):

\[ \frac{-0{,}2+3\cdot(-0{,}6)}{4\cdot(-0{,}2)} = \frac{-2}{-0{,}8} = 2{,}5=\frac52. \]

35. Сократите дробь

в)

Используем формулу разности кубов:

\[ a^3-1^3=(a-1)(a^2+a+1). \]

Тогда

\[ \frac{a^2+a+1}{a^3-1} = \frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac1{a-1}. \]

Ограничение: \(a\ne1\).

г)

Используем формулу суммы кубов:

\[ b^3+2^3=(b+2)(b^2-2b+4). \]

Получаем:

\[ \frac{b+2}{b^3+8} = \frac{b+2}{(b+2)(b^2-2b+4)} = \frac1{b^2-2b+4}. \]

Ограничение: \(b\ne-2\).

37. Сократите дробь

в)

Разложим числитель группировкой:

\[ xy-x+y-y^2 = x(y-1)-y(y-1) = (x-y)(y-1). \]

Знаменатель:

\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]

Следовательно,

\[ \frac{xy-x+y-y^2}{x^2-y^2} = \frac{(x-y)(y-1)}{(x-y)(x+y)} = \frac{y-1}{x+y}. \]

Ограничения исходной дроби:

\[ x^2-y^2\ne0\quad\Rightarrow\quad x\ne y,\ x\ne-y. \]

г)

Числитель — полный квадрат:

\[ a^2+2ac+c^2=(a+c)^2. \]

Знаменатель разложим группировкой:

\[ a^2+ac-ax-cx = a(a+c)-x(a+c) = (a-x)(a+c). \]

Тогда

\[ \frac{a^2+2ac+c^2}{a^2+ac-ax-cx} = \frac{(a+c)^2}{(a-x)(a+c)} = \frac{a+c}{a-x}. \]

Ограничения:

\[ (a-x)(a+c)\ne0\quad\Rightarrow\quad a\ne x,\ a\ne-c. \]

Главный принцип: сначала разложить числитель и знаменатель на множители, затем сократить только общий множитель.