х³(х-8)¹⁰(х-5)⁵<0 реши методом интервалов

Краткий ответ: \[ \boxed{x\in(0;5)} \]

Решение методом интервалов

Найдём нули выражения: \[ x^3(x-8)^{10}(x-5)^5=0. \]

Отсюда: \[ x=0,\qquad x=5,\qquad x=8. \]

Разобьём числовую прямую на интервалы: \[ (-\infty;0),\quad (0;5),\quad (5;8),\quad (8;+\infty). \]

Учитываем кратность корней:

• у \(x=0\) кратность \(3\) — знак меняется;
• у \(x=5\) кратность \(5\) — знак меняется;
• у \(x=8\) кратность \(10\) — знак не меняется.

Знак выражения:

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;0) & (0;5) & (5;8) & (8;+\infty)\\ \hline x^3(x-8)^{10}(x-5)^5 & + & - & + & + \end{array} \]

Нужно, чтобы выражение было отрицательным: \[ x^3(x-8)^{10}(x-5)^5<0. \]

Подходит только интервал: \[ \boxed{(0;5)}. \]

Точки \(0\), \(5\) и \(8\) не включаются, так как неравенство строгое.