х¹³(2х+7)⁸(5-х)⁷≤0 реши методом интервалов
Решение неравенства
Нужно рассмотреть неравенство \( x^{13}(2x+7)^8(5-x)^7 \leq 0 \), сосредоточившись на интервалах. Сначала определим корни: \( x = 0 \) (кратность 13), \( x = -7/2 \) (кратность 8) и \( x = 5 \) (кратность 7). Знак \( (5-x)^7 \) меняется в точке 5. Нужно разбить числовую прямую на интервалы, используя эти корни, и определить знак произведения на каждом интервале, чтобы прийти к выводу, что решением является \( (-\infty, 0] \cup [5, \infty) \). Я задаюсь вопросом, следует ли также включить \( -7/2 \).
Уточнение процесса решения неравенства
Я вижу, что поскольку интервалы являются отрицательными, \( (-\infty, 0] \) действительно включает ноль. Я хочу расположить критические точки в порядке: \(-7/2, 0, 5\). Важно отметить, что в точке \( x = -7/2 \) смены знака не происходит из-за чётного показателя степени, но сама точка всё равно включается. Следует начать с краткого описания, а затем подробно изложить шаги. Возможно, я добавлю последующее предложение вроде «Покажи таблицу знаков...», если это понадобится. Я размышляю, имеет ли смысл это добавлять.
Ответ: \[ \boxed{x\in(-\infty;0]\cup[5;+\infty)} \]
Решение методом интервалов
Разложим выражение на множители: \[ x^{13}(2x+7)^8(5-x)^7\le 0. \]
Найдём нули множителей: \[ x=0,\qquad 2x+7=0\Rightarrow x=-\frac72,\qquad 5-x=0\Rightarrow x=5. \]
Расположим точки на числовой прямой: \[ -\frac72,\quad 0,\quad 5. \]
Рассмотрим знаки на интервалах:
| Интервал | Знак выражения |
|---|---|
| \((-\infty;-\frac72)\) | \(-\) |
| \((-\frac72;0)\) | \(-\) |
| \((0;5)\) | \(+\) |
| \((5;+\infty)\) | \(-\) |
Почему знак не меняется в точке \(x=-\frac72\)? Множитель \((2x+7)^8\) имеет чётную степень. В точках \(x=-\frac72,\;0,\;5\) выражение равно нулю, поэтому они входят в решение.
Берём промежутки, где выражение не положительно: \[ \boxed{x\in(-\infty;0]\cup[5;+\infty)}. \]
