(2х⁴-8х²)(3-4х)⁶ <0 реши методом интервалов
Решение неравенств
Мне нужно решить неравенство (2x^4 - 8x^2)(3 - 4x)^6 < 0 методом интервалов. Сначала я разложу его на множители и получу 2x²(x - 2)(x + 2), отмечая, что (3 - 4x)^6 неотрицательно. Произведение отрицательно, когда первый множитель отрицателен, а второй положителен. Критические точки: -2, 0, 3/4 и 2. Проверив интервалы, я нахожу, что решение: x ∈ (-2, 0) ∪ (0, 3/4) ∪ (3/4, 2).
Краткий ответ: \[ \boxed{x\in(-2;0)\cup\left(0;\frac34\right)\cup\left(\frac34;2\right)} \]
Решение методом интервалов
Разложим на множители: \[ (2x^4-8x^2)(3-4x)^6= 2x^2(x-2)(x+2)(3-4x)^6. \]
Найдём нули множителей: \[ x=-2,\quad x=0,\quad x=\frac34,\quad x=2. \]
Расставим их на числовой прямой: \[ -2\quad 0\quad \frac34\quad 2. \]
Заметим:
- \(2x^2\ge 0\), причём \(2x^2=0\) только при \(x=0\);
- \((3-4x)^6\ge 0\), причём равно нулю при \(x=\frac34\);
- знак выражения меняется только из-за \((x-2)(x+2)\).
Произведение отрицательно, когда \[ (x-2)(x+2)<0, \] то есть при \[ -2<x<2. \]
Но точки \(x=0\) и \(x=\frac34\) нужно исключить, так как в них всё выражение равно нулю. Поэтому: \[ \boxed{x\in(-2;0)\cup\left(0;\frac34\right)\cup\left(\frac34;2\right)}. \]
Проверка: на каждом из этих интервалов первый множитель \(2x^4-8x^2<0\), а шестая степень положительна, значит произведение действительно меньше нуля.
