Реши задание на изображении

Краткий ответ:

\[ \boxed{ \left( \begin{array}{cc} \dfrac12 & \dfrac{\sqrt3}{2}\\[2mm] -\dfrac{\sqrt3}{2} & \dfrac12 \end{array} \right)^n = \begin{pmatrix} \cos\dfrac{n\pi}{3} & \sin\dfrac{n\pi}{3}\\[2mm] -\sin\dfrac{n\pi}{3} & \cos\dfrac{n\pi}{3} \end{pmatrix} } \]

Почему так

Обозначим исходную матрицу через \(A\). Так как

\[ \cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\qquad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}, \]

то

\[ A= \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{3} & \sin\frac{\pi}{3}\\ -\sin\frac{\pi}{3} & \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix}. \]

При перемножении таких матриц углы складываются:

\[ A^n= \begin{pmatrix} \cos\frac{n\pi}{3} & \sin\frac{n\pi}{3}\\ -\sin\frac{n\pi}{3} & \cos\frac{n\pi}{3} \end{pmatrix}. \]

Так как угол увеличивается на \(\frac{\pi}{3}\), степени повторяются через 6:

\[ A^6=E. \]

Поэтому достаточно знать остаток \(r\) от деления \(n\) на 6:

\[ \begin{array}{c|c} r & A^n\\ \hline 0 & \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\\[2mm] 1 & \begin{pmatrix}\frac12&\frac{\sqrt3}{2}\\-\frac{\sqrt3}{2}&\frac12\end{pmatrix}\\[4mm] 2 & \begin{pmatrix}-\frac12&\frac{\sqrt3}{2}\\-\frac{\sqrt3}{2}&-\frac12\end{pmatrix}\\[4mm] 3 & \begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\\[2mm] 4 & \begin{pmatrix}-\frac12&-\frac{\sqrt3}{2}\\\frac{\sqrt3}{2}&-\frac12\end{pmatrix}\\[4mm] 5 & \begin{pmatrix}\frac12&-\frac{\sqrt3}{2}\\\frac{\sqrt3}{2}&\frac12\end{pmatrix} \end{array} \]

Проверка: \(A^3=-E\), значит \(A^6=E\), и далее степени действительно повторяются.