Номер 2.90

Краткий ответ:

а) \(\operatorname{НОД}(975,750)=75\);

б) \(\operatorname{НОД}(572,440)=44\);

в) \(\operatorname{НОД}(80,140,56)=4\);

г) \(\operatorname{НОД}(170,306,255)=17\).

Решение

Используем алгоритм Евклида: заменяем большее число остатком от деления на меньшее. Последний ненулевой остаток — это НОД.

а)
\[ 975=750+225, \] \[ 750=3\cdot225+75, \] \[ 225=3\cdot75. \] Значит, \(\operatorname{НОД}=75\).

б)
\[ 572=440+132, \] \[ 440=3\cdot132+44, \] \[ 132=3\cdot44. \] Значит, \(\operatorname{НОД}=44\).

в) Сначала найдём НОД первых двух чисел: \[ 140=80+60,\quad 80=60+20,\quad 60=3\cdot20. \] Получаем \(\operatorname{НОД}(80,140)=20\).

Теперь: \[ 56=2\cdot20+16,\quad 20=16+4,\quad 16=4\cdot4. \] Следовательно, \[ \operatorname{НОД}(80,140,56)=4. \]

г)
\[ 306=170+136, \] \[ 170=136+34, \] \[ 136=4\cdot34. \] Значит, \(\operatorname{НОД}(170,306)=34\).

Далее: \[ 255=7\cdot34+17,\quad 34=2\cdot17. \] Следовательно, \[ \operatorname{НОД}(170,306,255)=17. \]

Проверка: \(75,44,4,17\) делят соответственно все числа в каждом пункте.