Номер 2.90 найди наибольший общий делитель чисел
Краткий ответ:
а) \(\operatorname{НОД}(975,750)=75\);
б) \(\operatorname{НОД}(572,440)=44\);
в) \(\operatorname{НОД}(80,140,56)=4\);
г) \(\operatorname{НОД}(170,306,255)=17\).
Решение
Используем алгоритм Евклида: делим большее число на меньшее и повторяем с остатком.
а)
\[
975=750\cdot1+225,
\]
\[
750=225\cdot3+75,
\]
\[
225=75\cdot3.
\]
Последний ненулевой остаток — \(75\), значит, НОД равен \(75\).
б)
\[
572=440\cdot1+132,
\]
\[
440=132\cdot3+44,
\]
\[
132=44\cdot3.
\]
\[
\operatorname{НОД}=44.
\]
в) Сначала найдём НОД первых двух чисел: \[ 140=80+60,\qquad 80=60+20, \] значит, \(\operatorname{НОД}(80,140)=20\).
Теперь: \[ 56=20\cdot2+16,\qquad 20=16+4. \] \[ \operatorname{НОД}(80,140,56)=4. \]
г)
\[
306=170+136,\qquad 170=136+34,
\]
поэтому \(\operatorname{НОД}(170,306)=34\).
Затем: \[ 255=34\cdot7+17,\qquad 34=17\cdot2. \] \[ \operatorname{НОД}(170,306,255)=17. \]
Проверка:
\[
975:75=13,\quad 750:75=10;
\]
\[
572:44=13,\quad 440:44=10;
\]
\[
80:4=20,\quad 140:4=35,\quad 56:4=14;
\]
\[
170:17=10,\quad 306:17=18,\quad 255:17=15.
\]
