С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник АВС если угол А=30° угол С=75° b=4,5
Краткий ответ:
\[ \boxed{B=75^\circ,\quad b=c=4{,}5,\quad a=\frac94(\sqrt6-\sqrt2)\approx2{,}33} \]
То есть треугольник решён:
\[
\boxed{A=30^\circ,\ B=75^\circ,\ C=75^\circ}
\]
\[
\boxed{a\approx2{,}33,\ b=4{,}5,\ c=4{,}5}
\]
Решение
Обозначения: \(a=BC,\ b=CA,\ c=AB\).
- Найдём третий угол:
\[ B=180^\circ-A-C=180^\circ-30^\circ-75^\circ=75^\circ. \]
Так как \(B=C=75^\circ\), то стороны напротив этих углов равны:
\[ b=c=4{,}5. \]
- По теореме синусов:
\[ \frac{a}{\sin30^\circ}=\frac{b}{\sin75^\circ}. \]
Отсюда
\[ a=\frac{4{,}5\cdot\sin30^\circ}{\sin75^\circ} =\frac{4{,}5\cdot\frac12}{\sin75^\circ}. \]
Так как
\[ \sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}, \]
то
\[ a=\frac94(\sqrt6-\sqrt2)\approx2{,}33. \]
Проверка по теореме косинусов
\[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A. \]
Подставим значения:
\[ a^2=4{,}5^2+4{,}5^2-2\cdot4{,}5\cdot4{,}5\cos30^\circ \approx5{,}43. \]
\[ a\approx\sqrt{5{,}43}\approx2{,}33. \]
Результат совпал.
