Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- \(1\)
- \(\ctg\alpha=\dfrac13\)
- \(\tg\alpha=\dfrac{8}{15}\)
- \(\sin\alpha=\dfrac{12}{13}\)
- \(\ctg\alpha=\sqrt{15}\)
- \(2\)
- \(1\)
Решение
Используем основные формулы:
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, \qquad \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac1{\tg\alpha}. \]
Так как угол \(\alpha\) острый, его синус и косинус положительны.
1.
\[ \sin^2 76^\circ+\cos^2 76^\circ=1. \]
2.
\[ \ctg\alpha=\frac1{\tg\alpha}=\frac13. \]
3.
\[ \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}} =\frac{8}{15}. \]
4.
\[ \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha =1-\left(\frac5{13}\right)^2 =1-\frac{25}{169} =\frac{144}{169}. \]
Поскольку угол острый,
\[ \sin\alpha=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}. \]
5.
\[ \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha =1-\left(\frac14\right)^2 =1-\frac1{16} =\frac{15}{16}. \]
Значит,
\[ \cos\alpha=\frac{\sqrt{15}}4. \]
Тогда
\[ \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} =\frac{\frac{\sqrt{15}}4}{\frac14} =\sqrt{15}. \]
6.
\[ \sin^2 60^\circ+\cos^2 60^\circ=1, \]
а
\[ \ctg60^\circ\cdot\tg60^\circ=1. \]
Следовательно,
\[ 1+1=2. \]
7.
Раскроем квадрат суммы:
\[ (\sin\alpha+\cos\alpha)^2 =\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha. \]
Вычитаем \(2\cos\alpha\sin\alpha\):
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \]
Условие \(\tg\alpha=\frac34\) здесь даже не требуется. Проверка: для острого угла \(\sin\alpha=\frac35\), \(\cos\alpha=\frac45\), и выражение также равно \(1\).
