Выполните номера: 70, 76, 77, 80
Краткий ответ
70. 1) \(7\); 2) \(8\); 3) \(24\); 4) \(90\).
76.
- \(x=-\sqrt[7]{10}\);
- \(x=\pm\dfrac13\);
- действительных решений нет;
- \(x=1,\ 9\);
- \(x=\pm\sqrt[8]{19}\);
- \(x=1,\ 5\).
77.
- \(x=\dfrac{8}{27}\);
- \(x=625\);
- действительных решений нет;
- \(x=1296\);
- \(x=-\dfrac12\);
- \(x=\dfrac{241}{4}\).
80.
- \(x=-1,\ 3\);
- \(x=\pm1,\ \pm\sqrt[4]{18}\);
- \(x=\pm\sqrt[6]{2}\).
70. Вычислите
1)
\[ 0{,}6\sqrt[3]{8000}-\frac53\sqrt[4]{81} \]
\[ \sqrt[3]{8000}=20,\qquad \sqrt[4]{81}=3. \]
\[ 0{,}6\cdot20-\frac53\cdot3=12-5=\boxed{7}. \]
2)
\[ \sqrt[3]{-216}+4(\sqrt[6]{5})^6-3\sqrt[9]{512} \]
\[ \sqrt[3]{-216}=-6,\qquad (\sqrt[6]{5})^6=5,\qquad \sqrt[9]{512}=2. \]
\[ -6+4\cdot5-3\cdot2=-6+20-6=\boxed{8}. \]
3)
\[ 2(\sqrt[12]{12})^{12}-30\sqrt[3]{0{,}001} +\left(\frac12\sqrt[5]{96}\right)^5 \]
\[ (\sqrt[12]{12})^{12}=12,\qquad \sqrt[3]{0{,}001}=0{,}1. \]
Кроме того,
\[ \left(\frac12\sqrt[5]{96}\right)^5 =\frac{1}{2^5}\cdot96=\frac{96}{32}=3. \]
Тогда
\[ 2\cdot12-30\cdot0{,}1+3 =24-3+3=\boxed{24}. \]
4)
\[ \sqrt[5]{7\frac{19}{32}}\cdot\sqrt[6]{\frac{64}{729}} +(-5\sqrt3)^2-(-\sqrt[11]{14})^{11} \]
\[ 7\frac{19}{32}=\frac{243}{32}=\frac{3^5}{2^5}, \]
поэтому
\[ \sqrt[5]{7\frac{19}{32}}=\frac32. \]
Также
\[ \sqrt[6]{\frac{64}{729}} =\sqrt[6]{\frac{2^6}{3^6}}=\frac23. \]
Тогда
\[ \frac32\cdot\frac23=1,\qquad (-5\sqrt3)^2=75, \]
а так как степень нечётная,
\[ (-\sqrt[11]{14})^{11}=-14. \]
Следовательно,
\[ 1+75-(-14)=\boxed{90}. \]
76. Решите уравнение
При чётной степени отрицательная правая часть невозможна, потому что \(x^{2n}\ge0\).
1)
\[ x^7=-10 \]
Степень нечётная:
\[ x=\sqrt[7]{-10}=\boxed{-\sqrt[7]{10}}. \]
2)
\[ x^4=\frac1{81}=\left(\frac13\right)^4 \]
\[ \boxed{x=\pm\frac13}. \]
3)
\[ x^4=-625 \]
Левая часть неотрицательна, поэтому действительных решений нет:
\[ \boxed{\varnothing}. \]
4)
\[ (x-5)^4=256=4^4 \]
\[ x-5=\pm4. \]
\[ \boxed{x=1,\ 9}. \]
5)
\[ 5x^8-95=0 \]
\[ 5x^8=95,\qquad x^8=19. \]
\[ \boxed{x=\pm\sqrt[8]{19}}. \]
6)
\[ (x^2-6x)^3=-125=(-5)^3 \]
Так как степень нечётная,
\[ x^2-6x=-5. \]
\[ x^2-6x+5=0, \]
\[ (x-1)(x-5)=0. \]
\[ \boxed{x=1,\ 5}. \]
77. Решите уравнение
1)
\[ \sqrt[3]{x}=\frac23 \]
Возводим обе части в куб:
\[ x=\left(\frac23\right)^3=\boxed{\frac{8}{27}}. \]
2)
\[ \sqrt[4]{x}-5=0 \]
\[ \sqrt[4]{x}=5, \]
\[ x=5^4=\boxed{625}. \]
3)
\[ \sqrt[4]{x}+2=0 \]
\[ \sqrt[4]{x}=-2. \]
Но арифметический корень чётной степени не бывает отрицательным. Поэтому
\[ \boxed{\varnothing}. \]
4)
\[ \frac13\sqrt[4]{x}-2=0 \]
\[ \frac13\sqrt[4]{x}=2, \qquad \sqrt[4]{x}=6. \]
\[ x=6^4=\boxed{1296}. \]
5)
\[ \sqrt[5]{4x+2}=0 \]
Возводим в пятую степень:
\[ 4x+2=0, \]
\[ \boxed{x=-\frac12}. \]
6)
\[ \sqrt[5]{4x+2}=3 \]
\[ 4x+2=3^5=243, \]
\[ 4x=241, \qquad \boxed{x=\frac{241}{4}}. \]
80. Решите уравнение
Здесь удобно заменить повторяющуюся степень новой переменной.
1)
\[ x^6-26x^3-27=0 \]
Пусть
\[ t=x^3. \]
Тогда
\[ t^2-26t-27=0. \]
Разложим на множители:
\[ (t-27)(t+1)=0. \]
Отсюда
\[ t=27\quad\text{или}\quad t=-1. \]
Возвращаемся к \(x\):
\[ x^3=27\Rightarrow x=3, \]
\[ x^3=-1\Rightarrow x=-1. \]
\[ \boxed{x=-1,\ 3}. \]
2)
\[ x^8-19x^4+18=0 \]
Пусть
\[ t=x^4,\qquad t\ge0. \]
Получаем:
\[ t^2-19t+18=0, \]
\[ (t-1)(t-18)=0. \]
\[ t=1\quad\text{или}\quad t=18. \]
Тогда
\[ x^4=1\Rightarrow x=\pm1, \]
\[ x^4=18\Rightarrow x=\pm\sqrt[4]{18}. \]
\[ \boxed{x=\pm1,\ \pm\sqrt[4]{18}}. \]
3)
\[ x^{12}+x^6-6=0 \]
Пусть
\[ t=x^6,\qquad t\ge0. \]
Тогда
\[ t^2+t-6=0, \]
\[ (t-2)(t+3)=0. \]
\[ t=2\quad\text{или}\quad t=-3. \]
Значение \(t=-3\) не подходит, так как \(x^6\ge0\). Поэтому
\[ x^6=2, \]
\[ \boxed{x=\pm\sqrt[6]{2}}. \]
Проверка выполнена преобразованиями: при подстановке найденных значений исходные равенства выполняются, а отрицательные значения для \(x^4\) и \(x^6\) исключены по их неотрицательности.
