Реши задание на изображении
Краткий ответ
- Взаимно простые пары: б) 29 и 34; г) 72 и 73.
- НОД \(=14\).
- а) \(2\); б) \(5\); в) \(102\); г) \(15\).
- \(1440=2^5\cdot3^2\cdot5\), \(240=2^4\cdot3\cdot5\); \(1440\) больше \(240\) в 6 раз.
- \(m=1,2,4,7,8,11,13,14\).
Решение
1. Взаимно простые числа
Числа взаимно просты, если их НОД равен \(1\).
- а) \(\НОД(12,15)=3\) — не взаимно простые;
- б) \(\НОД(29,34)=1\) — взаимно простые;
- в) \(\НОД(25,30)=5\) — не взаимно простые;
- г) \(72\) и \(73\) — соседние числа, поэтому \(\НОД(72,73)=1\).
2. НОД по разложениям
\[ 2\cdot2\cdot5\cdot7=2^2\cdot5\cdot7, \qquad 2\cdot7\cdot11. \]
Общие простые множители: \(2\) и \(7\).
\[ \НОД=2\cdot7=\boxed{14}. \]
3. Наибольшие общие делители
а)
\[ 34=2\cdot17,\qquad 56=2^3\cdot7, \]
\[ \НОД(34,56)=\boxed{2}. \]
б)
\[ 45=3^2\cdot5,\qquad 65=5\cdot13, \]
\[ \НОД(45,65)=\boxed{5}. \]
в)
\[ 102=2\cdot3\cdot17,\qquad 204=2^2\cdot3\cdot17, \]
\[ \НОД(102,204)=2\cdot3\cdot17=\boxed{102}. \]
г)
\[ 1005=3\cdot5\cdot67, \qquad 960=2^6\cdot3\cdot5. \]
Общие множители — \(3\) и \(5\):
\[ \НОД(1005,960)=3\cdot5=\boxed{15}. \]
4. Разложение на простые множители
\[ 1440=144\cdot10=2^4\cdot3^2\cdot2\cdot5 =2^5\cdot3^2\cdot5; \]
\[ 240=16\cdot15=2^4\cdot3\cdot5. \]
Найдём, во сколько раз \(1440\) больше \(240\):
\[ 1440:240=6. \]
Проверка:
\[ 240\cdot6=1440. \]
Ответ: в 6 раз.
5. Значения \(m\)
Правильная дробь означает:
\[ 1\le m<15. \]
Знаменатель:
\[ 15=3\cdot5. \]
Чтобы дробь была несократимой, \(m\) не должен делиться ни на \(3\), ни на \(5\). Из чисел от \(1\) до \(14\) подходят:
\[ \boxed{m=1,2,4,7,8,11,13,14}. \]
