Номер 968

Краткий ответ:

\[ 1\cdot\vec a=\vec a,\qquad (-1)\cdot\vec a=-\vec a. \]

Доказательство. Пусть \(\vec a=(x;y)\). При умножении вектора на число умножается каждая его координата:

а)
\[ 1\cdot\vec a=1\cdot(x;y)=(1x;1y)=(x;y)=\vec a. \]

б)
\[ (-1)\cdot\vec a=(-1)\cdot(x;y)=(-x;-y). \]

Вектор \((-x;-y)\) имеет ту же длину, что и \(\vec a\), но противоположное направление. По определению это вектор \(-\vec a\). Значит,

\[ (-1)\cdot\vec a=-\vec a. \]

Равенства верны и для нулевого вектора.