Формула сокращенного умножение
Краткий ответ: основные формулы сокращённого умножения
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \]
Также часто используют формулы кубов:
\[ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \]
\[ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \]
\[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \]
\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \]
Как понять первые формулы
Раскроем скобки:
\[ (a+b)^2=(a+b)(a+b) \]
\[ =a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2 \]
Для разности:
\[ (a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-2ab+b^2 \]
Обрати внимание: последний член всегда \(+b^2\).
Разность квадратов получается так:
\[ (a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2 \]
Средние слагаемые уничтожаются.
Пример
\[ (2x-3)^2 \]
Здесь \(a=2x\), \(b=3\). Используем формулу квадрата разности:
\[ (2x-3)^2=(2x)^2-2\cdot 2x\cdot 3+3^2 \]
\[ =4x^2-12x+9 \]
Проверка при \(x=1\):
\[ (2-3)^2=1 \]
\[ 4-12+9=1 \]
Ответ верный.
Обсуждение
2 сообщенияВсе формулы покажи
Все основные формулы сокращённого умножения
1. Квадрат суммы
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]
Обратная формула:
\[ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \]
2. Квадрат разности
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
Обратная формула:
\[ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 \]
3. Разность квадратов
\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \]
Обратная формула:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]
4. Куб суммы
\[ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \]
Обратная формула:
\[ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3 \]
5. Куб разности
\[ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \]
Обратная формула:
\[ a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3 \]
6. Сумма кубов
\[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \]
Обратная формула:
\[ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 \]
7. Разность кубов
\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \]
Обратная формула:
\[ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 \]
Дополнительная формула
Квадрат суммы трёх слагаемых
\[ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \]
Как запомнить знаки
- В квадрате разности последний член всегда положительный:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
- В разности квадратов средних членов нет:
\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \]
- При разложении суммы кубов в скобках стоит знак «минус»:
\[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \]
- При разложении разности кубов в скобках стоят плюсы:
\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \]
