184

Краткий ответ:

1. \(x\in(4;+\infty)\);
2. \(x\in(-\infty;3]\);
3. \(x\in\left(-\dfrac32;5\right)\);
4. \(x\in[3;+\infty)\);
5. \(x\in[5;17)\);
6. \(x\in[1;6]\).

Решение

В системе должны одновременно выполняться оба неравенства, поэтому пересекаем полученные промежутки.

1)
\[ \begin{cases} -4x\le -12,\\ x+2>6. \end{cases} \]

При делении на отрицательное число знак меняется:

\[ x\ge3,\qquad x>4. \]

Пересечение:

\[ \boxed{x>4}. \]

2)
\[ \begin{cases} 8-x\ge5,\\ x-7\le2. \end{cases} \]

\[ -x\ge-3 \Rightarrow x\le3, \qquad x\le9. \]

Пересечение:

\[ \boxed{x\le3}. \]

3)
\[ \begin{cases} 3x-3<5x,\\ 7x-10<5x. \end{cases} \]

\[ -3<2x \Rightarrow x>-\frac32, \] \[ 2x<10 \Rightarrow x<5. \]

Следовательно,

\[ \boxed{-\frac32<x<5}. \]

4)
\[ \begin{cases} 2-3x<4x-12,\\ 7+3x\ge2x+10. \end{cases} \]

\[ 14<7x \Rightarrow x>2, \] \[ x\ge3. \]

Пересечение:

\[ \boxed{x\ge3}. \]

5)
\[ \begin{cases} x+3\ge8,\\ \dfrac{x+1}{3}<6. \end{cases} \]

\[ x\ge5, \] \[ x+1<18 \Rightarrow x<17. \]

Поэтому

\[ \boxed{5\le x<17}. \]

6)
\[ \begin{cases} 5x-2\ge2x+1,\\ 2x+3\le33-3x. \end{cases} \]

\[ 3x\ge3 \Rightarrow x\ge1, \] \[ 5x\le30 \Rightarrow x\le6. \]

Пересечение:

\[ \boxed{1\le x\le6}. \]

Проверка границ: в пунктах 5 и 6 крайние значения \(5,1,6\) входят в ответ, потому что там стоят нестрогие знаки \(\ge\) и \(\le\); значения \(17\), \(-\frac32\), \(5\) в соответствующих строгих неравенствах не входят.