Помни разобраться с темами по геометрии : "Теорема синусов" и "Теорема косинусов" составь для меня пару задач для понимания
Краткий ответ
- Теорема синусов: \(b=6\sqrt2\approx 8{,}49\).
- Теорема косинусов: \(a=\sqrt{39}\approx 6{,}24\).
1. Задача на теорему синусов
В треугольнике \(ABC\):
\[ \angle A=30^\circ,\qquad \angle B=45^\circ,\qquad a=BC=6. \]
Найдите сторону \(b=AC\).
Решение
Теорема синусов:
\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}. \]
Подставим известные значения:
\[ \frac{6}{\sin30^\circ}=\frac{b}{\sin45^\circ}. \]
Выразим \(b\):
\[ b=\frac{6\sin45^\circ}{\sin30^\circ}. \]
Так как
\[ \sin30^\circ=\frac12,\qquad \sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}, \]
получаем:
\[ b=\frac{6\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12} =6\sqrt2. \]
Ответ:
\[ \boxed{b=6\sqrt2\approx8{,}49}. \]
Как понять, что применять
Теорему синусов удобно использовать, когда известна хотя бы одна пара:
- сторона и угол, лежащий напротив неё;
- и нужно найти другую сторону или угол.
Важно: \(a\) лежит напротив угла \(A\), \(b\) — напротив \(B\), \(c\) — напротив \(C\).
2. Задача на теорему косинусов
В треугольнике две стороны равны:
\[ b=5,\qquad c=7, \]
а угол между ними:
\[ \angle A=60^\circ. \]
Найдите сторону \(a\), лежащую напротив угла \(A\).
Решение
Теорема косинусов:
\[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A. \]
Подставим значения:
\[ a^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot\cos60^\circ. \]
Поскольку
\[ \cos60^\circ=\frac12, \]
получаем:
\[ a^2=25+49-70\cdot\frac12 =74-35=39. \]
Следовательно,
\[ a=\sqrt{39}. \]
Ответ:
\[ \boxed{a=\sqrt{39}\approx6{,}24}. \]
Как понять, что применять
Теорему косинусов используют, когда:
- известны две стороны и угол между ними;
- или известны три стороны и нужно найти угол.
Она похожа на теорему Пифагора, но работает для любого треугольника:
\[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A. \]
Если угол \(A=90^\circ\), то \(\cos90^\circ=0\), и формула превращается в теорему Пифагора:
\[ a^2=b^2+c^2. \]
