Номер 1003
Краткий ответ:
а) \(x=-1,\ y=3\);
б) \(x=4,\ y=-5\);
в) \(x=0,\ y=3\);
г) \(x=-1,\ y=\dfrac13\).
Объяснение. Так как векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) неколлинеарны, они линейно независимы. Поэтому равенство
\[
p\vec a+q\vec b=\vec0
\]
возможно только при \(p=0\) и \(q=0\).
а)
\[
3\vec a-x\vec b=y\vec a+\vec b
\]
Перенесём всё в левую часть:
\[
(3-y)\vec a+(-x-1)\vec b=\vec0.
\]
Значит,
\[
3-y=0,\qquad -x-1=0,
\]
откуда
\[
\boxed{x=-1,\ y=3}.
\]
б)
\[
4\vec a-x\vec a+5\vec b+y\vec b=\vec0,
\]
\[
(4-x)\vec a+(5+y)\vec b=\vec0.
\]
Следовательно,
\[
4-x=0,\qquad 5+y=0,
\]
\[
\boxed{x=4,\ y=-5}.
\]
в)
\[
x\vec a+3\vec b-y\vec b=\vec0,
\]
\[
x\vec a+(3-y)\vec b=\vec0.
\]
Тогда
\[
x=0,\qquad 3-y=0,
\]
\[
\boxed{x=0,\ y=3}.
\]
г)
\[
\vec a+\vec b-3y\vec a+x\vec b=\vec0,
\]
\[
(1-3y)\vec a+(1+x)\vec b=\vec0.
\]
Значит,
\[
1-3y=0,\qquad 1+x=0,
\]
\[
\boxed{x=-1,\ y=\dfrac13}.
\]
Проверка: после подстановки во всех четырёх равенствах коэффициенты при \(\vec a\) и \(\vec b\) обращаются в ноль, поэтому равенства верны.
