Реши

Краткий ответ

№ 1. Сократите дробь

1. \(\displaystyle \frac{3x}{21y}=\frac{x}{7y}\)
2. \(\displaystyle \frac{5x^2}{6x}=\frac{5x}{6}\)
3. \(\displaystyle \frac{5c^4}{10c^5}=\frac1{2c}\)
4. \(\displaystyle \frac{2m^4}{m^3}=2m\)
5. \(\displaystyle \frac{16ab^4}{40ab^2}=\frac{2b^2}{5}\)
6. \(\displaystyle \frac{63x^5y^4}{42x^4y^5}=\frac{3x}{2y}\)
7. \(\displaystyle \frac{12a^8}{-42a^2}=-\frac{2a^6}{7}\)
8. \(\displaystyle \frac{-13a^3b^5}{26a^4b^3}=-\frac{b^2}{2a}\)

№ 2. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена

1. \(\displaystyle a^2-8a+16=(a-4)^2\)
2. \(\displaystyle 9x^2+6x+1=(3x+1)^2\)
3. \(\displaystyle 40xy+16x^2+25y^2=(4x+5y)^2\)
4. \(\displaystyle a^8-4a^4b+4b^2=(a^4-2b)^2\)

№ 3. Разложите на множители

1. \(\displaystyle x^2-9=(x-3)(x+3)\)
2. \(\displaystyle 25-4y^2=(5-2y)(5+2y)\)
3. \(\displaystyle 36m^2-49n^2=(6m-7n)(6m+7n)\)
4. \(\displaystyle a^2b^2-81=(ab-9)(ab+9)\)
5. \(\displaystyle 100m^6-1=(10m^3-1)(10m^3+1)\)
6. \(\displaystyle a^{10}-b^6=(a^5-b^3)(a^5+b^3)\)

Ключевые шаги

1. Сокращение дробей

Сокращаем числовые множители и одинаковые степени переменных:

\[ \frac{63x^5y^4}{42x^4y^5} = \frac{63}{42}\cdot\frac{x^5}{x^4}\cdot\frac{y^4}{y^5} = \frac32\cdot x\cdot\frac1y = \frac{3x}{2y}. \]

Правило степеней:

\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}. \]

2. Квадрат двучлена

Используем формулы:

\[ (u+v)^2=u^2+2uv+v^2, \]

\[ (u-v)^2=u^2-2uv+v^2. \]

Например:

\[ a^2-8a+16=a^2-2\cdot a\cdot4+4^2=(a-4)^2. \]

В третьем примере:

\[ (4x+5y)^2=16x^2+40xy+25y^2, \]

что совпадает с данным трёхчленом.

3. Разность квадратов

Применяем формулу:

\[ A^2-B^2=(A-B)(A+B). \]

Например:

\[ 100m^6-1=(10m^3)^2-1^2 =(10m^3-1)(10m^3+1). \]

Проверка выполняется раскрытием скобок: произведение разности и суммы возвращает исходную разность квадратов.

При сокращении дробей знаменатель не должен быть равен нулю.