Реши задание на изображении

Краткий ответ: \[ \bigl((2\sqrt{x}+1)\cdot x^3\bigr)'=x^2(7\sqrt{x}+3),\qquad x>0. \]

Решение. Используем правило производной произведения: \[ (uv)'=u'v+uv'. \]

Пусть \[ u=2\sqrt{x}+1,\qquad v=x^3. \] Тогда \[ u'=\frac1{\sqrt{x}},\qquad v'=3x^2. \]

Следовательно, \[ \begin{aligned} f'(x) &=\frac1{\sqrt{x}}\cdot x^3+(2\sqrt{x}+1)\cdot3x^2\\ &=x^2\sqrt{x}+6x^2\sqrt{x}+3x^2\\ &=7x^2\sqrt{x}+3x^2\\ &=\boxed{x^2(7\sqrt{x}+3)}. \end{aligned} \]

Проверка раскрытием скобок: \[ (2\sqrt{x}+1)x^3=2x^{7/2}+x^3, \] \[ (2x^{7/2}+x^3)'=7x^{5/2}+3x^2=x^2(7\sqrt{x}+3). \]