Номер 1.136

Краткий ответ:

а) \(\angle C=90^\circ\). Построен прямоугольный треугольник \(ABC\).

б) Получится равносторонний треугольник со сторонами по \(6\) см.

а) Построение и проверка

1. Постройте отрезок \(AB=5\) см.
2. С центром в \(A\) проведите окружность радиусом \(3\) см.
3. С центром в \(B\) проведите окружность радиусом \(4\) см.
4. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте \(C\).
5. Соедините точки \(A\) и \(C\), \(B\) и \(C\).

По построению:

\[ AC=3\text{ см},\qquad BC=4\text{ см},\qquad AB=5\text{ см}. \]

Проверим:

\[ AC^2+BC^2=3^2+4^2=9+16=25=5^2=AB^2. \]

По обратной теореме Пифагора треугольник прямоугольный, причём прямой угол находится напротив стороны \(AB\), то есть

\[ \angle C=90^\circ. \]

б) Построение

1. Постройте отрезок \(AB=6\) см.
2. Проведите окружность с центром в \(A\) и радиусом \(6\) см.
3. Проведите окружность с центром в \(B\) и радиусом \(6\) см.
4. Точку их пересечения обозначьте \(C\).
5. Соедините \(C\) с \(A\) и \(B\).

Тогда

\[ AB=AC=BC=6\text{ см}, \]

поэтому треугольник \(ABC\) равносторонний, а каждый его угол равен \(60^\circ\).