Как решать задачи для самостоятельного решения
Краткие ответы при \(g=10\ \text{м/с}^2\) и без сопротивления воздуха:
- \(h=20\ \text{м}\), \(v_{\text{кон}}=20\ \text{м/с}\).
- Время последнего метра: \(\Delta t\approx0{,}12\ \text{с}\); средняя скорость: \(v_{\text{ср}}\approx4{,}47\ \text{м/с}\).
- \(t\approx1{,}41\ \text{с}\), дальность \(L\approx28{,}3\ \text{м}\), скорость при падении \(v\approx24{,}5\ \text{м/с}\).
- \(H_{\max}=10\ \text{м}\), \(L=40\ \text{м}\); через \(2\ \text{с}\):
\[ \vec v\approx(14{,}1;\,-5{,}86)\ \text{м/с},\qquad |\vec v|\approx15{,}3\ \text{м/с}, \] \[ (x;y)\approx(28{,}3;\,8{,}28)\ \text{м}. \]
Основной принцип
Для движения тела вблизи поверхности Земли:
\[ x=x_0+v_{0x}t, \]
\[ y=y_0+v_{0y}t-\frac{gt^2}{2}, \]
\[ v_x=v_{0x},\qquad v_y=v_{0y}-gt. \]
Модуль скорости находят по теореме Пифагора:
\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}. \]
1. Падение камня с обрыва
Камень падает без начальной скорости, поэтому:
\[ h=\frac{gt^2}{2}. \]
Подставим \(t=2\ \text{с}\):
\[ h=\frac{10\cdot2^2}{2}=20\ \text{м}. \]
Конечная скорость:
\[ v=gt=10\cdot2=20\ \text{м/с}. \]
Ответ:
\[ \boxed{h=20\ \text{м}},\qquad \boxed{v=20\ \text{м/с}}. \]
Проверка по формуле \(v^2=2gh\):
\[ v=\sqrt{2\cdot10\cdot20}=20\ \text{м/с}. \]
2. Льдинка падает с высоты \(4\ \text{м}\)
Время падения всех \(4\ \text{м}\)
\[ h=\frac{gt^2}{2}, \]
\[ t_4=\sqrt{\frac{2h}{g}} =\sqrt{\frac{2\cdot4}{10}} \approx0{,}894\ \text{с}. \]
Время падения первых \(3\ \text{м}\)
Последний метр начинается после прохождения \(3\ \text{м}\):
\[ t_3=\sqrt{\frac{2\cdot3}{10}} \approx0{,}775\ \text{с}. \]
Тогда время последнего метра:
\[ \Delta t=t_4-t_3 \approx0{,}894-0{,}775 \approx0{,}12\ \text{с}. \]
Средняя скорость
\[ v_{\text{ср}}=\frac{s}{t} =\frac{4}{0{,}894} \approx4{,}47\ \text{м/с}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\Delta t\approx0{,}12\ \text{с}}, \qquad \boxed{v_{\text{ср}}\approx4{,}47\ \text{м/с}}. \]
Важно: время последнего метра маленькое, потому что тело к концу падения движется быстрее.
3. Горизонтальный бросок
Дано:
\[ v_{0x}=20\ \text{м/с},\qquad h=10\ \text{м}. \]
По вертикали камень свободно падает:
\[ h=\frac{gt^2}{2}. \]
Отсюда:
\[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} =\sqrt{\frac{20}{10}} =\sqrt2\approx1{,}41\ \text{с}. \]
Дальность полёта
По горизонтали движение равномерное:
\[ L=v_{0x}t. \]
\[ L=20\sqrt2\approx28{,}3\ \text{м}. \]
Скорость в момент падения
Горизонтальная составляющая не изменяется:
\[ v_x=20\ \text{м/с}. \]
Вертикальная составляющая:
\[ v_y=-gt=-10\sqrt2\approx-14{,}1\ \text{м/с}. \]
Знак «минус» означает движение вниз.
Модуль скорости:
\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} =\sqrt{20^2+(10\sqrt2)^2} \]
\[ v=\sqrt{400+200} =\sqrt{600}\approx24{,}5\ \text{м/с}. \]
Ответ:
\[ \boxed{t\approx1{,}41\ \text{с}}, \]
\[ \boxed{L\approx28{,}3\ \text{м}}, \]
\[ \boxed{v\approx24{,}5\ \text{м/с}}. \]
4. Бросок под углом \(45^\circ\)
Дано:
\[ v_0=20\ \text{м/с},\qquad \alpha=45^\circ. \]
Разложим начальную скорость на составляющие:
\[ v_{0x}=v_0\cos45^\circ=10\sqrt2\ \text{м/с}, \]
\[ v_{0y}=v_0\sin45^\circ=10\sqrt2\ \text{м/с}. \]
Наибольшая высота
В верхней точке вертикальная скорость равна нулю:
\[ v_y=0. \]
Высота подъёма:
\[ H_{\max}=\frac{v_{0y}^2}{2g} =\frac{(10\sqrt2)^2}{20} =\frac{200}{20}=10\ \text{м}. \]
Дальность полёта
Время полёта до возвращения на землю:
\[ T=\frac{2v_{0y}}{g} =\frac{2\cdot10\sqrt2}{10} =2\sqrt2\ \text{с}. \]
Дальность:
\[ L=v_{0x}T =10\sqrt2\cdot2\sqrt2 =40\ \text{м}. \]
Скорость и координаты через \(2\ \text{с}\)
Координата \(x\):
\[ x=v_{0x}t =10\sqrt2\cdot2 =20\sqrt2\approx28{,}3\ \text{м}. \]
Координата \(y\):
\[ y=v_{0y}t-\frac{gt^2}{2}. \]
\[ y=10\sqrt2\cdot2-\frac{10\cdot2^2}{2} =20\sqrt2-20 \approx8{,}28\ \text{м}. \]
Составляющие скорости:
\[ v_x=10\sqrt2\approx14{,}1\ \text{м/с}, \]
\[ v_y=v_{0y}-gt =10\sqrt2-20 \approx-5{,}86\ \text{м/с}. \]
Модуль скорости:
\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \approx15{,}3\ \text{м/с}. \]
Ответ:
\[ \boxed{H_{\max}=10\ \text{м}},\qquad \boxed{L=40\ \text{м}}, \]
\[ \boxed{(x;y)\approx(28{,}3;\,8{,}28)\ \text{м}}, \]
\[ \boxed{\vec v\approx(14{,}1;\,-5{,}86)\ \text{м/с}}, \qquad \boxed{|\vec v|\approx15{,}3\ \text{м/с}}. \]
Главное правило: при движении тела, брошенного под углом или горизонтально, отдельно рассматривай движение по горизонтали и по вертикали, а затем объединяй результаты.
