Номер 1120
Краткий ответ:
- а) \(5,4,4\) — остроугольный;
- б) \(17,8,15\) — прямоугольный;
- в) \(9,5,6\) — тупоугольный.
Правило
Сравниваем квадрат наибольшей стороны \(c\) с суммой квадратов двух других сторон:
- если \(c^2<a^2+b^2\), треугольник остроугольный;
- если \(c^2=a^2+b^2\), прямоугольный;
- если \(c^2>a^2+b^2\), тупоугольный.
Решение
а) Наибольшая сторона \(5\):
\[ 5^2=25,\qquad 4^2+4^2=16+16=32. \]
Так как \(25<32\), треугольник остроугольный.
б) Наибольшая сторона \(17\):
\[ 17^2=289,\qquad 8^2+15^2=64+225=289. \]
Так как \(289=289\), треугольник прямоугольный.
в) Наибольшая сторона \(9\):
\[ 9^2=81,\qquad 5^2+6^2=25+36=61. \]
Так как \(81>61\), треугольник тупоугольный.
Обсуждение
2 сообщенияА как решить а, через теорему синусов
Для пункта а) стороны треугольника: \(5,\ 4,\ 4\).
Обозначим угол, лежащий напротив стороны \(5\), через \(A\). Углы напротив равных сторон \(4\) равны:
\[ B=C=\frac{180^\circ-A}{2}=90^\circ-\frac A2. \]
По теореме синусов:
\[ \frac{5}{\sin A}=\frac{4}{\sin B}. \]
Подставим \(B=90^\circ-\frac A2\):
\[ 5\sin\left(90^\circ-\frac A2\right)=4\sin A. \]
Так как \(\sin(90^\circ-x)=\cos x\), а \(\sin A=2\sin\frac A2\cos\frac A2\), получаем:
\[ 5\cos\frac A2=8\sin\frac A2\cos\frac A2. \]
Сокращаем на \(\cos\frac A2\):
\[ \sin\frac A2=\frac58. \]
Тогда
\[ \frac A2=\arcsin\frac58\approx38{,}7^\circ, \qquad A\approx77{,}4^\circ. \]
Угол \(A<90^\circ\), а остальные углы равны примерно \(51{,}3^\circ\). Значит, треугольник остроугольный.
