Реши задание на изображении
Уточнение инструкций к изображению
Мне нужно убедиться, что в упоминании принципа разложения на множители и сокращения только ненулевых значений нет неоднозначности. Возможно, добавление этапа проверки, например «проверка результата», для подстановок в заданиях было бы полезным. Пользователь просит объяснение, поэтому я мог бы добавить пример проверки. Мне следует включить следующий шаг, побуждающий к дальнейшему взаимодействию, без дополнительной разметки Markdown, и обеспечить чёткую нумерацию заданий. Формулировка этих подсказок на русском языке также была бы полезной.
Анализ деталей задания
Давайте убедимся, что я уточню детали шаг за шагом. В Задании 1 знаменатель, по-видимому, имеет вид \(27a^2b^3\), а числитель — \(12a^6b\), что сходится. В Задании 2a первая дробь, возможно, имеет вид \(\frac{2a - 1}{3a}\), а вторая дробь — \(\frac{a + 2}{6a}\). В Задании 3 выражение имеет вид «\(4b + \frac{3a - 20b^2}{5b}\)». В Задании 4 присутствует знаменатель \(9x^2 + 6x + 1\), а второй числитель равен \(3x\). Я позабочусь о том, чтобы сначала кратко перечислить ответы, а затем привести ключевые шаги.
Краткий ответ
Сократите дробь:
а) \(\displaystyle \frac{4a^4}{9b^2}\);
б) \(\displaystyle \frac{x-5}{5}\);
в) \(\displaystyle \frac{x+4}{2}\).Выполните действие:
а) \(\displaystyle \frac56\);
б) \(\displaystyle \frac{6}{x^2-9}\).\(\displaystyle \frac{3a}{5b}\), при \(a=7,\ b=-0{,}2\) значение равно \(\boxed{-21}\).
\(\displaystyle \frac{2}{(3x+1)^2}\).
Решение
1. Сокращение дробей
а)
\[ \frac{12a^6b}{27a^2b^3} =\frac{4a^6b}{9a^2b^3} =\frac{4a^4}{9b^2}. \]
Сокращаем только общие множители \(3a^2b\).
Ограничения: \(a\ne0,\ b\ne0\).
б)
\[ \frac{3x^2-15x}{15x} =\frac{3x(x-5)}{15x} =\frac{x-5}{5}. \]
Ограничение: \(x\ne0\).
в)
\[ \frac{x^2-16}{2x-8} =\frac{(x-4)(x+4)}{2(x-4)} =\frac{x+4}{2}. \]
Ограничение: \(x\ne4\).
2. Выполнение действий
а) Приводим дроби к общему знаменателю \(6a\):
\[ \frac{2a-1}{3a}+\frac{a+2}{6a} = \frac{2(2a-1)+(a+2)}{6a}. \]
\[ \frac{4a-2+a+2}{6a} =\frac{5a}{6a} =\frac56. \]
Ограничение: \(a\ne0\).
б) Общий знаменатель — \((x-3)(x+3)\):
\[ \frac1{x-3}-\frac1{x+3} = \frac{x+3-(x-3)}{(x-3)(x+3)}. \]
\[ \frac{x+3-x+3}{x^2-9} =\frac6{x^2-9}. \]
Ограничения: \(x\ne3,\ x\ne-3\).
3. Упрощение и вычисление значения
\[ 4b+\frac{3a-20b^2}{5b} = \frac{20b^2}{5b}+\frac{3a-20b^2}{5b}. \]
\[ \frac{20b^2+3a-20b^2}{5b} =\frac{3a}{5b}. \]
Теперь подставим \(a=7,\ b=-0{,}2\):
\[ \frac{3a}{5b} = \frac{3\cdot7}{5\cdot(-0{,}2)} = \frac{21}{-1} =-21. \]
Проверка по исходному выражению:
\[ 4(-0{,}2)+\frac{21-20\cdot0{,}04}{-1} =-0{,}8-20{,}2=-21. \]
4. Упрощение выражения
Заметим:
\[ 9x^2+6x+1=(3x+1)^2. \]
Тогда
\[ 1-\frac{3x-1}{(3x+1)^2}-\frac{3x}{3x+1} \]
\[ = \frac{(3x+1)^2-(3x-1)-3x(3x+1)} {(3x+1)^2}. \]
Раскроем скобки:
\[ (9x^2+6x+1)-(3x-1)-(9x^2+3x)=2. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\frac{2}{(3x+1)^2}}. \]
Ограничение: \(x\ne-\frac13\).
