Реши задание на изображении
Краткий ответ
№ 208
а) \(f'(x)=2x+3x^2\).
б) \(f'(x)=5-\dfrac1{x^2}\).
в) \(f'(x)=2x+3\).
г) \(f'(x)=3x^2+\dfrac1{2\sqrt{x}}\), \(x>0\).
№ 209
а)
\[
f'(x)=12x^2+8x^3-5x^4.
\]
б)
\[
f'(x)=5x\sqrt{x}-\frac32\sqrt{x}
=\sqrt{x}\left(5x-\frac32\right).
\]
в)
\[
f'(x)=9x^2+5x^4.
\]
г)
\[
f'(x)=2+9x^2-8x^3.
\]
№ 210
а)
\[
y'=\frac{11}{(3-5x)^2}.
\]
б)
\[
y'=\frac{2x(x-1)}{(2x-1)^2}.
\]
в)
\[
y'=\frac{34}{(5x+8)^2}.
\]
г)
\[
y'=\frac{4x-6}{x^3}.
\]
№ 211
а)
\[
y'=8x^7-12x^3-1.
\]
б)
\[
y'=\frac13+\frac8{x^3}+\frac1{2\sqrt{x}}.
\]
в)
\[
y'=7x^6-20x^4+2.
\]
г)
\[
y'=x-\frac9{x^4}.
\]
№ 212
а) \(f(x)=x^2-3x\), поэтому
\[
f'(x)=2x-3.
\]
\[ f'\left(-\frac12\right)=-4,\qquad f'(2)=1. \]
б) \(f(x)=x-4\sqrt{x}\), поэтому
\[
f'(x)=1-\frac2{\sqrt{x}}.
\]
\[ f'(0{,}01)=-19,\qquad f'(4)=0. \]
в) \(f(x)=x-\dfrac1x\), поэтому
\[
f'(x)=1+\frac1{x^2}.
\]
\[ f'(\sqrt2)=\frac32,\qquad f'\left(-\frac1{\sqrt3}\right)=4. \]
г) \(f(x)=\dfrac{3-x}{2+x}\), поэтому
\[
f'(x)=\frac{-5}{(x+2)^2}.
\]
\[ f'(-3)=-5,\qquad f'(0)=-\frac54. \]
Ключевые шаги
Используем правила:
\[ (x^n)'=nx^{n-1},\qquad (\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}, \]
\[ (uv)'=u'v+uv', \]
\[ \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \]
Например, в № 209:
\[ x^3(4+2x-x^2)=4x^3+2x^4-x^5, \]
поэтому
\[ f'(x)=12x^2+8x^3-5x^4. \]
В № 210а применяем правило производной дроби:
\[ y'= \frac{2(3-5x)-(1+2x)(-5)}{(3-5x)^2} = \frac{11}{(3-5x)^2}. \]
В № 212 сначала находим производную, затем подставляем указанное значение \(x\).
На фото условие № 213 обрезано: видна только его верхняя часть. Пришли нижнюю часть страницы с полным условием № 213, и я решу его тоже.
Обсуждение
4 сообщенияРеши все
По шогово реши
210
№ 210. Найдём производные по шагам
Используем правило производной дроби:
\[ \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \]
а) \(\displaystyle y=\frac{1+2x}{3-5x}\)
\[ u=1+2x,\quad u'=2; \] \[ v=3-5x,\quad v'=-5. \]
Тогда
\[ y'=\frac{2(3-5x)-(1+2x)(-5)}{(3-5x)^2}. \]
Раскроем скобки:
\[ y'=\frac{6-10x+5+10x}{(3-5x)^2} =\boxed{\frac{11}{(3-5x)^2}}. \]
б) \(\displaystyle y=\frac{x^2}{2x-1}\)
\[ u=x^2,\quad u'=2x; \] \[ v=2x-1,\quad v'=2. \]
По формуле:
\[ y'=\frac{2x(2x-1)-x^2\cdot2}{(2x-1)^2}. \]
Упростим:
\[ y'=\frac{4x^2-2x-2x^2}{(2x-1)^2} =\frac{2x^2-2x}{(2x-1)^2}. \]
Вынесем \(2x\):
\[ \boxed{y'=\frac{2x(x-1)}{(2x-1)^2}}. \]
в) \(\displaystyle y=\frac{3x-2}{5x+8}\)
\[ u=3x-2,\quad u'=3; \] \[ v=5x+8,\quad v'=5. \]
Тогда
\[ y'=\frac{3(5x+8)-(3x-2)\cdot5}{(5x+8)^2}. \]
Раскроем скобки:
\[ y'=\frac{15x+24-15x+10}{(5x+8)^2} =\boxed{\frac{34}{(5x+8)^2}}. \]
г) \(\displaystyle y=\frac{3-4x}{x^2}\)
\[ u=3-4x,\quad u'=-4; \] \[ v=x^2,\quad v'=2x. \]
Применим правило дроби:
\[ y'=\frac{(-4)x^2-(3-4x)\cdot2x}{x^4}. \]
Раскроем скобки:
\[ y'=\frac{-4x^2-6x+8x^2}{x^4} =\frac{4x^2-6x}{x^4}. \]
Сократим на \(x\):
\[ \boxed{y'=\frac{4x-6}{x^3}}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\text{а) }\frac{11}{(3-5x)^2}} \]
\[ \boxed{\text{б) }\frac{2x(x-1)}{(2x-1)^2}} \]
\[ \boxed{\text{в) }\frac{34}{(5x+8)^2}} \]
\[ \boxed{\text{г) }\frac{4x-6}{x^3}} \]
