Выполните 43 номер

Краткий ответ

1. \(\boxed{x\in(-2;-1)\cup(0;5)}\)

2. \(\boxed{x\in(-3;0)\cup(3;+\infty)}\)

3. \(\boxed{x\in(-5;-3)\cup[-1;1]\cup(3;5)}\)

4. \(\boxed{x\in(-\infty;-2)\cup(-1;3)\cup(10;+\infty)}\)

5. \(\boxed{x\in\left(1;\frac32\right]\cup(2;+\infty)}\)

Решение

При решении дробно-рациональных неравенств:

1. Находим ОДЗ — знаменатели не должны быть равны нулю.
2. Переносим всё в одну часть.
3. Раскладываем числитель и знаменатель на множители.
4. Расставляем критические точки и определяем знаки на промежутках.

---

1)

\[ \frac{10}{x}-\frac6{x+1}>1, \qquad x\ne0,\;-1. \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ \frac{10}{x}-\frac6{x+1}-1>0. \]

\[ \frac{10(x+1)-6x-x(x+1)}{x(x+1)}>0. \]

\[ \frac{-x^2+3x+10}{x(x+1)}>0 \]

\[ \frac{-(x-5)(x+2)}{x(x+1)}>0. \]

Критические точки:

\[ -2,\;-1,\;0,\;5. \]

Положительный знак получается на промежутках

\[ \boxed{(-2;-1)\cup(0;5)}. \]

---

2)

\[ \frac1{x-3}+\frac1{x+3}\ge \frac4{3x}, \qquad x\ne -3,\;0,\;3. \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ \frac1{x-3}+\frac1{x+3}-\frac4{3x}\ge0. \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{2x}{x^2-9}-\frac4{3x} = \frac{6x^2-4(x^2-9)}{3x(x^2-9)}. \]

\[ \frac{2x^2+36}{3x(x-3)(x+3)}\ge0. \]

Так как

\[ 2x^2+36>0, \]

нужно, чтобы

\[ x(x-3)(x+3)>0. \]

Отсюда

\[ \boxed{x\in(-3;0)\cup(3;+\infty)}. \]

---

3)

\[ \frac3{x^2-25}-\frac1{x^2-9}\le0, \qquad x\ne\pm5,\;\pm3. \]

\[ \frac{3(x^2-9)-(x^2-25)} {(x^2-25)(x^2-9)}\le0. \]

\[ \frac{2x^2-2}{(x^2-25)(x^2-9)}\le0. \]

Разложим на множители:

\[ \frac{2(x-1)(x+1)} {(x-5)(x+5)(x-3)(x+3)}\le0. \]

Критические точки:

\[ -5,\;-3,\;-1,\;1,\;3,\;5. \]

С учётом знаков и ОДЗ:

\[ \boxed{x\in(-5;-3)\cup[-1;1]\cup(3;5)}. \]

Точки \(-1\) и \(1\) включаются, потому что в них числитель равен нулю, а знаменатель — нет.

---

4)

\[ \frac{2x+1}{x^2-x-6}<\frac14. \]

ОДЗ:

\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2)\ne0, \]

поэтому \(x\ne3,-2\).

Перенесём всё в левую часть:

\[ \frac{2x+1}{(x-3)(x+2)}-\frac14<0. \]

\[ \frac{4(2x+1)-(x-3)(x+2)} {4(x-3)(x+2)}<0. \]

\[ \frac{-x^2+9x+10}{4(x-3)(x+2)}<0. \]

\[ \frac{-(x-10)(x+1)} {4(x-3)(x+2)}<0. \]

Критические точки:

\[ -2,\;-1,\;3,\;10. \]

Получаем:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-2)\cup(-1;3)\cup(10;+\infty)}. \]

---

5)

\[ \frac{3x}{x^2-3x+2}+\frac5{x-1}\ge\frac4{x-2}. \]

Разложим квадратный трёхчлен:

\[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2). \]

ОДЗ:

\[ x\ne1,\;2. \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ \frac{3x}{(x-1)(x-2)} +\frac5{x-1} -\frac4{x-2}\ge0. \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{3x+5(x-2)-4(x-1)} {(x-1)(x-2)}\ge0. \]

\[ \frac{4x-6}{(x-1)(x-2)}\ge0. \]

\[ \frac{2(2x-3)}{(x-1)(x-2)}\ge0. \]

Критические точки:

\[ 1,\;\frac32,\;2. \]

Точка \(\frac32\) включается, так как обращает числитель в ноль:

\[ \boxed{x\in\left(1;\frac32\right]\cup(2;+\infty)}. \]