Сделай 4.5 1 и 3 пример
Краткий ответ:
\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{12}}\frac{dx}{\cos^2 3x}=\boxed{\frac13} \]
\[ \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}}\sin 3x\,dx =\boxed{\frac{\sqrt3-\sqrt2}{6}} \]
1)
Используем формулу:
\[ \int \frac{dx}{\cos^2(ax)}=\frac{1}{a}\tan(ax)+C. \]
Здесь \(a=3\), поэтому
\[ \int \frac{dx}{\cos^2 3x}=\frac13\tan 3x. \]
Подставляем пределы:
\[ \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{12}}\frac{dx}{\cos^2 3x} &=\left.\frac13\tan 3x\right|_{0}^{\frac{\pi}{12}}\\ &=\frac13\left(\tan\frac{\pi}{4}-\tan0\right)\\ &=\frac13(1-0)=\frac13. \end{aligned} \]
3)
Так как
\[ (\cos 3x)'=-3\sin 3x, \]
то
\[ \int \sin 3x\,dx=-\frac13\cos 3x. \]
Тогда
\[ \begin{aligned} \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}}\sin 3x\,dx &=\left.-\frac13\cos 3x\right|_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}}\\ &=-\frac13\cos\frac{\pi}{4} +\frac13\cos\frac{\pi}{6}\\ &=-\frac{\sqrt2}{6}+\frac{\sqrt3}{6}\\ &=\frac{\sqrt3-\sqrt2}{6}. \end{aligned} \]
Проверка: на отрезке \(\left[\frac{\pi}{18},\frac{\pi}{12}\right]\) функция \(\sin 3x>0\), поэтому результат должен быть положительным. \(\frac{\sqrt3-\sqrt2}{6}>0\), всё верно.
Обсуждение
2 сообщениямы плюс минус так решаем
Да, решаем именно так: подставляем верхний предел со знаком «+», нижний — со знаком «−».
1)
\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{12}}\frac{dx}{\cos^2 3x} = \left.\frac{\tg 3x}{3}\right|_{0}^{\frac{\pi}{12}} \]
\[ =\frac{\tg\frac{\pi}{4}}{3} -\frac{\tg 0}{3} =\frac{1}{3}-0 =\boxed{\frac13}. \]
3)
\[ \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}}\sin 3x\,dx = \left.-\frac{\cos 3x}{3}\right|_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \]
\[ =-\frac{\cos\frac{\pi}{4}}{3} +\frac{\cos\frac{\pi}{6}}{3} =-\frac{\sqrt2}{6}+\frac{\sqrt3}{6} =\boxed{\frac{\sqrt3-\sqrt2}{6}}. \]
В третьем примере плюс перед вторым слагаемым появляется потому, что мы вычитаем отрицательное значение первообразной.
