312

Краткий ответ:

а) \(\displaystyle x\in\left(-7;-\frac14\right)\);

б) \(\displaystyle x\in\left(-\infty;\frac32\right]\cup\left[\frac53;+\infty\right)\);

в) \(\displaystyle x\in\left(-\infty;-\frac{\sqrt{19}}2\right)\cup\left(\frac{\sqrt{19}}2;+\infty\right)\);

г) \(\displaystyle x\in\left(-\infty;\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup\left(\frac{9+\sqrt{37}}{22};+\infty\right)\).

Решение

Принцип: переносим все слагаемые в одну часть и решаем квадратное неравенство. Если коэффициент при \(x^2\) положительный, выражение отрицательно между корнями, а положительно вне корней.

а)

\[ 3x^2+40x+10<-x^2+11x+3 \]

\[ 4x^2+29x+7<0 \]

\[ (4x+1)(x+7)<0. \]

Корни: \(x=-7\) и \(x=-\frac14\). Выражение отрицательно между ними:

\[ \boxed{x\in\left(-7;-\frac14\right)}. \]

б)

\[ 9x^2-x+9\ge 3x^2+18x-6 \]

\[ 6x^2-19x+15\ge0 \]

\[ (3x-5)(2x-3)\ge0. \]

Корни:

\[ x=\frac32,\qquad x=\frac53. \]

Знак «плюс» получается вне корней, сами корни включаются:

\[ \boxed{x\in\left(-\infty;\frac32\right]\cup\left[\frac53;+\infty\right)}. \]

в)

\[ 2x^2+8x-11<(3x-5)(2x+6) \]

Раскроем скобки:

\[ 2x^2+8x-11<6x^2+8x-30. \]

\[ 4x^2-19>0. \]

\[ (2x-\sqrt{19})(2x+\sqrt{19})>0. \]

Корни:

\[ x=-\frac{\sqrt{19}}2,\qquad x=\frac{\sqrt{19}}2. \]

Знак «плюс» вне корней:

\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac{\sqrt{19}}2\right)\cup \left(\frac{\sqrt{19}}2;+\infty\right)}. \]

г)

\[ (5x+1)(3x-1)>(4x-1)(x+2). \]

Раскроем скобки:

\[ 15x^2-2x-1>4x^2+7x-2. \]

\[ 11x^2-9x+1>0. \]

Найдём корни:

\[ D=(-9)^2-4\cdot11\cdot1=37, \]

\[ x_{1,2}=\frac{9\pm\sqrt{37}}{22}. \]

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, берём промежутки вне корней:

\[ \boxed{x\in\left(-\infty;\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{9+\sqrt{37}}{22};+\infty\right)}. \]

Проверка: во всех пунктах получены квадратные выражения с положительным коэффициентом при \(x^2\), поэтому правило знаков применено верно; при строгих знаках \(<,>\) корни не включаются, а при \(\ge\) в пункте б) включаются.