Орындаш дұрыстап

Қысқаша жауап

1.53. Екі бұрышы тік болған төртбұрыш міндетті түрде тіктөртбұрыш болмайды.
1.54. Теңбүйірлі трапецияның диагональдары тең, бірақ ол тіктөртбұрыш емес.
1.55. Төртбұрышты параллелограмм болу шартымен толықтырса, екі жағдайда да ол тіктөртбұрыш болады.
1.56. Барлық бұрыштары тең төртбұрыштың әр бұрышы \(90^\circ\), сондықтан ол тіктөртбұрыш.
1.57. Параллелограммның іргелес екі қабырғасы тең болса, оның барлық қабырғалары тең, демек ол — ромб.

---

1.53

Қарсы мысал ретінде нүктелерді координаталық жазықтықта алайық:

\[ A(0;0),\quad B(4;0),\quad C(2;4),\quad D(0;3). \]

Оларды ретімен қосамыз.

• \(AB\perp AD\), сондықтан \(\angle A=90^\circ\);
• \(\overrightarrow{CB}=(2;-4)\), \(\overrightarrow{CD}=(-2;-1)\), олардың скалярлық көбейтіндісі:

\[ 2\cdot(-2)+(-4)\cdot(-1)=0, \]

сондықтан \(\angle C=90^\circ\).

Ал \(B\) және \(D\) бұрыштарындағы қабырғалар перпендикуляр емес. Демек, төртбұрыштың екі бұрышы тік болғанымен, ол тіктөртбұрыш емес.

---

1.54

Теңбүйірлі трапеция салыңдар:

\[ AB\parallel CD,\qquad AB=6,\qquad CD=4, \]

ал бүйір қабырғалары тең болсын:

\[ AD=BC. \]

Мысалы, координаталары:

\[ A(-3;0),\quad B(3;0),\quad C(2;2),\quad D(-2;2). \]

Диагональдарының ұзындықтары:

\[ AC=\sqrt{(2+3)^2+(2-0)^2}=\sqrt{29}, \]

\[ BD=\sqrt{(-2-3)^2+(2-0)^2}=\sqrt{29}. \]

Сондықтан

\[ AC=BD. \]

Бірақ \(AB=6\neq4=CD\), ал тіктөртбұрышта қарама-қарсы қабырғалар тең болуы керек. Сондықтан бұл трапеция — тіктөртбұрыш емес.

---

1.55

Екі есепке де жеткілікті ортақ шарт:

\[ \boxed{\text{Төртбұрыш параллелограмм болуы керек.}} \]

1.53 үшін: параллелограммда бір бұрыш \(90^\circ\) болса, оған іргелес бұрыш та \(90^\circ\), ал қарама-қарсы бұрыштар тең болады. Сондықтан барлық бұрыштары тік болады.

1.54 үшін: параллелограммның диагональдары тең болса, ол тіктөртбұрыш болады. Себебі:

\[ AB=CD,\qquad BC=BC,\qquad AC=BD, \]

сондықтан үшбұрыштар тең:

\[ \triangle ABC=\triangle DCB. \]

Осыдан іргелес бұрыштар тең болады. Олар қосындысында \(180^\circ\), демек әрқайсысы \(90^\circ\). Параллелограмм тіктөртбұрышқа айналады.

---

1.56

Төртбұрыштың барлық бұрыштары тең болсын, әр бұрышы \(x\)-ке тең:

\[ x+x+x+x=360^\circ. \]

\[ 4x=360^\circ,\qquad x=90^\circ. \]

Демек, төртбұрыштың барлық бұрыштары тік. Сондықтан ол — тіктөртбұрыш.

---

1.57

\(ABCD\) — параллелограмм болсын және оның іргелес қабырғалары тең болсын:

\[ AB=BC. \]

Параллелограммның қарама-қарсы қабырғалары тең:

\[ AB=CD,\qquad BC=AD. \]

Сонда:

\[ AB=BC=CD=AD. \]

Барлық қабырғалары тең болғандықтан, \(ABCD\) — ромб.