Кратко

Дробь \(\frac{a}{b}\) означает деление \(a:b\), где \(b\ne0\).

Главные правила:

1. Сокращение: числитель и знаменатель делят на одно и то же число.
2. Сложение и вычитание: сначала привести к общему знаменателю.
3. Умножение: числитель умножить на числитель, знаменатель — на знаменатель.
4. Деление: умножить на дробь, обратную второй.
5. Обыкновенная дробь → десятичная: разделить числитель на знаменатель.
6. Десятичная дробь → обыкновенная: записать число без запятой над \(10\), \(100\), \(1000\) и сократить.

---

1. Из чего состоит дробь

\[ \frac{3}{5} \]

• \(3\) — числитель;
• \(5\) — знаменатель;
• дробная черта означает деление: \(\frac35=3:5\).

Знаменатель не может быть равен нулю:

\[ \frac{7}{0} \]

не имеет смысла.

Виды дробей

Правильная дробь — числитель меньше знаменателя:

\[ \frac35 \]

Неправильная дробь — числитель больше или равен знаменателю:

\[ \frac73,\qquad \frac55 \]

Смешанное число состоит из целой и дробной частей:

\[ 2\frac35 \]

---

2. Сокращение и расширение дробей

Сокращение

Числитель и знаменатель делят на одно и то же число.

\[ \frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac34 \]

Сокращать можно только на общий делитель.

Расширение

Числитель и знаменатель умножают на одно и то же число.

\[ \frac35=\frac{3\cdot2}{5\cdot2}=\frac6{10} \]

Значение дроби не изменяется:

\[ \frac35=\frac6{10}=\frac{60}{100} \]

---

3. Перевод смешанных и неправильных дробей

Смешанное число в неправильную дробь

Целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель:

\[ 2\frac35=\frac{2\cdot5+3}{5}=\frac{13}{5} \]

Ещё пример:

\[ 4\frac17=\frac{4\cdot7+1}{7}=\frac{29}{7} \]

Неправильную дробь в смешанное число

Числитель делят на знаменатель:

\[ \frac{17}{4}=4\frac14 \]

Потому что:

\[ 17:4=4\text{ и остаток }1 \]

---

4. Сравнение дробей

Одинаковые знаменатели

Сравнивают числители:

\[ \frac38<\frac58 \]

потому что \(3<5\).

Одинаковые числители

Меньше та дробь, у которой знаменатель больше:

\[ \frac37>\frac3{10} \]

Разные числители и знаменатели

Можно привести дроби к общему знаменателю или использовать крестное умножение:

\[ \frac58 \quad\text{и}\quad \frac23 \]

Сравним:

\[ 5\cdot3=15,\qquad 2\cdot8=16 \]

Так как \(15<16\), то

\[ \frac58<\frac23 \]

---

5. Сложение и вычитание дробей

Одинаковые знаменатели

Знаменатель оставляют, а числители складывают или вычитают:

\[ \frac29+\frac49=\frac{2+4}{9}=\frac69=\frac23 \]

\[ \frac78-\frac38=\frac{7-3}{8}=\frac48=\frac12 \]

Разные знаменатели

Сначала находят общий знаменатель. Обычно используют НОК — наименьшее общее кратное.

Пример:

\[ \frac23+\frac5{12} \]

Общий знаменатель — \(12\):

\[ \frac23=\frac8{12} \]

Тогда:

\[ \frac23+\frac5{12} =\frac8{12}+\frac5{12} =\frac{13}{12} =1\frac1{12} \]

Другой пример:

\[ \frac7{10}-\frac16 \]

НОК чисел \(10\) и \(6\) равен \(30\):

\[ \frac7{10}=\frac{21}{30},\qquad \frac16=\frac5{30} \]

\[ \frac7{10}-\frac16 =\frac{21}{30}-\frac5{30} =\frac{16}{30} =\frac8{15} \]

Важно: знаменатели нельзя просто складывать:

\[ \frac13+\frac14\ne\frac27 \]

---

6. Умножение дробей

Числители перемножают между собой, знаменатели — между собой:

\[ \frac27\cdot\frac3{10} =\frac{2\cdot3}{7\cdot10} =\frac6{70} =\frac3{35} \]

Удобно сначала сокращать крест-накрест:

\[ \frac3{14}\cdot\frac79 \]

Сократим \(7\) и \(14\), а \(3\) и \(9\):

\[ \frac3{14}\cdot\frac79 =\frac16 \]

Дробь от числа

Чтобы найти дробь от числа, число умножают на эту дробь:

\[ \frac35\text{ от }40 = 40\cdot\frac35 = 8\cdot3 = 24 \]

---

7. Деление дробей

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь:

\[ \frac56:\frac{10}{9} = \frac56\cdot\frac9{10} = \frac{45}{60} = \frac34 \]

Обратная дробь для \(\frac ab\) — это \(\frac ba\).

\[ \frac37\longrightarrow\frac73 \]

Делить на ноль нельзя.

---

8. Знаки у дробей

Знак «минус» можно поставить перед дробью, у числителя или у знаменателя:

\[ -\frac25=\frac{-2}{5}=\frac2{-5} \]

Но обычно минус записывают перед дробью.

Правила знаков такие же, как при умножении целых чисел:

\[ (+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+ \]

\[ (+)\cdot(-)=-,\qquad (-)\cdot(+)=- \]

---

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Способ 1. Сделать знаменатель \(10\), \(100\), \(1000\)

Например:

\[ \frac38 \]

Умножим числитель и знаменатель на \(125\):

\[ \frac38=\frac{3\cdot125}{8\cdot125} =\frac{375}{1000} =0{,}375 \]

Другой пример:

\[ \frac7{20}=\frac{35}{100}=0{,}35 \]

Способ 2. Разделить числитель на знаменатель

\[ \frac34=3:4=0{,}75 \]

\[ \frac78=7:8=0{,}875 \]

Если деление не заканчивается, появляется период:

\[ \frac13=0{,}(3)=0{,}333\ldots \]

Скобки означают, что цифра или группа цифр повторяется.

\[ \frac56=0{,}8(3)=0{,}8333\ldots \]

\[ \frac7{12}=0{,}58(3)=0{,}58333\ldots \]

Как выполнять деление в столбик

Для \(\frac16\):

1. \(1<6\), поэтому пишем \(0,\).
2. Добавляем ноль: \(10:6=1\), остаток \(4\).
3. Добавляем ноль к остатку: \(40:6=6\), остаток \(4\).
4. Остаток повторился, значит цифра \(6\) будет повторяться.

Получаем:

\[ \frac16=0{,}1(6) \]

Когда десятичная дробь конечная?

Сначала дробь нужно сократить. Если в знаменателе после сокращения остаются только множители \(2\) и \(5\), десятичная дробь будет конечной.

\[ \frac3{40},\qquad 40=2^3\cdot5 \]

Значит:

\[ \frac3{40}=0{,}075 \]

Если есть другие множители, появится период:

\[ \frac16,\qquad 6=2\cdot3 \]

Есть множитель \(3\), поэтому:

\[ \frac16=0{,}1(6) \]

Важно сначала сокращать:

\[ \frac6{15}=\frac25=0{,}4 \]

Хотя в исходном знаменателе было число \(15\), после сокращения знаменатель стал равен \(5\).

---

Перевод десятичной дроби в обыкновенную

Конечная десятичная дробь

Количество цифр после запятой показывает количество нулей в знаменателе.

Одна цифра после запятой

\[ 0{,}7=\frac7{10} \]

Две цифры

\[ 0{,}35=\frac{35}{100}=\frac7{20} \]

Три цифры

\[ 0{,}375=\frac{375}{1000}=\frac38 \]

Есть целая часть

\[ 2{,}04=\frac{204}{100}=\frac{51}{25} \]

После записи дробь нужно сократить.

---

Периодическая десятичная дробь

\[ 0{,}(3)=\frac39=\frac13 \]

\[ 0{,}(27)=\frac{27}{99}=\frac3{11} \]

В чистой периодической дроби в знаменателе записывают столько девяток, сколько цифр в периоде.

Смешанная периодическая дробь

Например:

\[ 0{,}1(6)=0{,}1666\ldots \]

Используем правило:

\[ 0{,}1(6)=\frac{16-1}{100-10} =\frac{15}{90} =\frac16 \]

Из числа до конца первого периода вычитают число без периода.

---

Десятичная дробь и округление

Нужно различать точное равенство и приближённое значение:

\[ \frac13=0{,}(3) \]

Но:

\[ \frac13\approx0{,}333 \]

Знак \(\approx\) означает «примерно равно». Десятичная запись \(0{,}333\) — это округлённое значение, а не точная дробь.

---

Полезные связи

Проценты

\[ 25\%=\frac{25}{100}=\frac14=0{,}25 \]

\[ 60\%=0{,}6=\frac35 \]

Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, её умножают на \(100\%\):

\[ 0{,}35=35\% \]

Найти целое по его части

Если \(\frac35\) числа равны \(24\), то всё число:

\[ 24:\frac35 = 24\cdot\frac53 = 40 \]

---

Порядок действий с дробями

Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.

Пример:

\[ \left(\frac12+\frac13\right)\cdot\frac34 \]

Сначала складываем:

\[ \frac12+\frac13 = \frac36+\frac26 = \frac56 \]

Затем умножаем:

\[ \frac56\cdot\frac34 = \frac{15}{24} = \frac58 \]

---

Как проверить ответ

1. Сократи дробь, если это возможно.
2. Проверь, не равен ли знаменатель нулю.
3. Для сложения и вычитания выполни обратное действие.
4. Оцени размер ответа: например, \(\frac12+\frac13\) должно быть чуть меньше \(1\).
5. Переведи дробь в десятичную и сравни с результатом.
6. Не забывай про знак и период.

Самая важная памятка

\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{Сложение/вычитание: общий знаменатель;}\\ &\text{умножение: умножаем прямо;}\\ &\text{деление: переворачиваем вторую дробь;}\\ &\text{обыкновенная в десятичную: делим;}\\ &\text{десятичная в обыкновенную: } \frac{\text{число без запятой}}{10^n}. \end{aligned} } \]