465
Краткий ответ:
\[ \begin{aligned} \text{а)}&\ (3;\,-1),\\ \text{б)}&\ \left(0;\,-\frac12\right),\\ \text{в)}&\ \left(-\frac{10}{3};\,-\frac{11}{3}\right),\\ \text{г)}&\ \left(\frac12;\,4\right). \end{aligned} \]
Принцип: одинаковые показательные функции с основанием \(a>0,\ a\ne1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели: \[ a^u=a^v\Longrightarrow u=v. \]
а)
\[ \begin{cases} 4^{x+y}=16,\\ 4^{x+2y-1}=1. \end{cases} \]
Представим правые части как степени числа \(4\):
\[ 16=4^2,\qquad 1=4^0. \]
Тогда
\[ \begin{cases} x+y=2,\\ x+2y-1=0. \end{cases} \]
Из второго уравнения \(x+2y=1\). Вычитаем первое:
\[ y=-1,\qquad x=3. \]
Проверка:
\[ 4^{3-1}=4^2=16,\qquad 4^{3+2(-1)-1}=4^0=1. \]
б)
\[ \begin{cases} 6^{3x-y}=\sqrt6,\\ 2^{y-2x}=\dfrac1{\sqrt2}. \end{cases} \]
\[ \sqrt6=6^{1/2},\qquad \frac1{\sqrt2}=2^{-1/2}. \]
Получаем:
\[ \begin{cases} 3x-y=\frac12,\\ y-2x=-\frac12. \end{cases} \]
Складываем уравнения:
\[ x=0. \]
Тогда из второго уравнения:
\[ y=-\frac12. \]
в)
\[ \begin{cases} 3^{2y-x}=\dfrac1{81},\\ 8^{x-y+2}=2^7. \end{cases} \]
Так как \(81=3^4\), а \(8=2^3\), имеем:
\[ \begin{cases} 2y-x=-4,\\ 2^{3(x-y+2)}=2^7. \end{cases} \]
Следовательно,
\[ \begin{cases} 2y-x=-4,\\ 3(x-y+2)=7. \end{cases} \]
Из второго уравнения:
\[ x-y=\frac13. \]
Тогда \(x=y+\frac13\). Подставим в первое:
\[ 2y-\left(y+\frac13\right)=-4, \]
\[ y=-\frac{11}{3},\qquad x=-\frac{10}{3}. \]
Проверка:
\[ 2y-x=-4,\qquad x-y+2=\frac73, \]
\[ 8^{7/3}=(2^3)^{7/3}=2^7. \]
г)
\[ \begin{cases} \left(\dfrac15\right)^{4x-y}=25,\\ 7^{9x-y}=\sqrt7. \end{cases} \]
Так как \(\dfrac15=5^{-1}\), \(25=5^2\), \(\sqrt7=7^{1/2}\), получаем:
\[ \begin{cases} -(4x-y)=2,\\ 9x-y=\frac12. \end{cases} \]
Или
\[ \begin{cases} 4x-y=-2,\\ 9x-y=\frac12. \end{cases} \]
Вычитаем первое уравнение из второго:
\[ 5x=\frac52,\qquad x=\frac12. \]
Тогда
\[ 4\cdot\frac12-y=-2 \quad\Longrightarrow\quad y=4. \]
Проверка:
\[ \left(\frac15\right)^{2-4} =\left(\frac15\right)^{-2}=25, \qquad 7^{9/2-4}=7^{1/2}=\sqrt7. \]
