Кратко ответить

Краткий ответ

6. Вектор \(\vec a\) отложен от точки \(A\), если его начало находится в \(A\): \(\overrightarrow{AB}=\vec a\). Такой вектор можно отложить из любой точки единственным способом.

7. Сумма \(\vec a+\vec b\) — вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго, если второй отложен от конца первого.

8. \(\vec a+\vec0=\vec a\).

9. Законы сложения: \[ \vec a+\vec b=\vec b+\vec a, \] \[ (\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c), \] \[ \vec a+\vec0=\vec a. \]

10. Чтобы сложить два неколлинеарных вектора, их откладывают от общей точки и строят параллелограмм. Диагональ из общей точки — их сумма.

11. При сложении нескольких векторов их откладывают последовательно. Сумма — вектор от начала первого до конца последнего.

12. Разность \(\vec a-\vec b\) — это такой вектор \(\vec c\), что \(\vec c+\vec b=\vec a\). Также: \[ \vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b). \]

13. Противоположный вектор \(-\vec a\) имеет ту же длину, но противоположное направление. Теорема: \[ \vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b). \]

14. \(k\vec a\) — вектор длины \(|k|\cdot|\vec a|\): при \(k>0\) он направлен так же, при \(k<0\) — противоположно.

15. а) Если \(\vec a=\vec0\), то \(k\vec a=\vec0\).
б) Если \(k=0\), то \(k\vec a=\vec0\).

16. Нет, так как \(k\vec a\) всегда коллинеарен \(\vec a\).

17. \[ k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b, \] \[ (k+m)\vec a=k\vec a+m\vec a, \] \[ k(m\vec a)=(km)\vec a, \] \[ 1\vec a=\vec a,\qquad 0\vec a=\vec0,\qquad (-1)\vec a=-\vec a. \]

18. Например, с помощью векторов можно доказать, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

19. Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

20. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: \[ MN\parallel AB\parallel CD,\qquad MN=\frac{AB+CD}{2}. \]

Ключевые доказательства

№ 6. Через точку \(A\) проводят луч, параллельный вектору \(\vec a\) и направленный так же, затем откладывают отрезок длины \(|\vec a|\). Направление и длина определяют единственную конечную точку \(B\). Для нулевого вектора \(B=A\).

№ 8. Если \(\vec a=\overrightarrow{AB}\), то нулевой вектор можно отложить от \(B\): \(\vec0=\overrightarrow{BB}\). По правилу треугольника: \[ \vec a+\vec0=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB} =\overrightarrow{AB}=\vec a. \]

№ 9.
Переместительный закон доказывается правилом параллелограмма: обе суммы являются одной и той же диагональю.
Для сочетательного закона пусть \[ \vec a=\overrightarrow{AB},\quad \vec b=\overrightarrow{BC},\quad \vec c=\overrightarrow{CD}. \] Тогда \[ (\vec a+\vec b)+\vec c =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD} =\overrightarrow{AD}, \] и \[ \vec a+(\vec b+\vec c) =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD} =\overrightarrow{AD}. \]

№ 12–13. Если \(\vec a=\overrightarrow{OA}\), \(\vec b=\overrightarrow{OB}\), то \[ \vec a-\vec b=\overrightarrow{BA}. \] Действительно, \[ \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{OB} =\overrightarrow{OA}. \] Значит, разность равна сумме уменьшаемого с вектором, противоположным вычитаемому.

№ 18. В параллелограмме \(ABCD\) обозначим \[ \overrightarrow{AB}=\vec u,\qquad \overrightarrow{AD}=\vec v. \] Тогда положения точек \(B,D,C\) задаются векторами \(\vec u,\vec v,\vec u+\vec v\). Середина \(AC\) имеет вектор \[ \frac{\vec u+\vec v}{2}, \] и середина \(BD\) — тот же вектор. Следовательно, диагонали делятся пополам.

№ 20. Пусть \(M,N\) — середины боковых сторон \(AD\) и \(BC\), а \(P\) — середина диагонали \(AC\). В треугольнике \(ADC\): \[ MP\parallel CD,\qquad MP=\frac{CD}{2}. \] В треугольнике \(ABC\): \[ PN\parallel AB,\qquad PN=\frac{AB}{2}. \] Так как \(AB\parallel CD\), точки \(M,P,N\) лежат на одной прямой. Поэтому \[ MN=MP+PN=\frac{CD}{2}+\frac{AB}{2} =\frac{AB+CD}{2}. \]

Проверка: если основания равны \(a\), формула даёт \(MN=a\), что верно для параллелограмма.