Номер 1-11 дин баарын чыгып берчи

Кыска жооп

Бул жерде аныкталбаган интегралдардын 11 негизги формуласы берилген:

1. \(\displaystyle \int 0\,dx=C\)

2. \(\displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\ne-1\)

3. \(\displaystyle \int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C,\quad x\ne0\)

4. \(\displaystyle \int e^x\,dx=e^x+C\)

5. \(\displaystyle \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,\quad a>0,\ a\ne1\)

6. \(\displaystyle \int\sin kx\,dx=-\frac{\cos kx}{k}+C,\quad k\ne0\)

7. \(\displaystyle \int\cos kx\,dx=\frac{\sin kx}{k}+C,\quad k\ne0\)

8. \(\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^2x}=\tg x+C\)

9. \(\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^2x}=-\ctg x+C\)

10. \(\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C\)

11. \(\displaystyle \int\frac{dx}{1+x^2}=\arctg x+C\)

Бул формулалардын баарында \(C\) — каалаган туруктуу сан.

Эмне үчүн мындай болот?

Негизги эреже:

\[ \int f(x)\,dx=F(x)+C, \]

эгерде

\[ F'(x)=f(x). \]

Башкача айтканда, интегралды текшерүү үчүн жоопту туундуга алабыз.

1. \[ (C)'=0 \] Демек, \[ \int0\,dx=C. \]

2. \[ \left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)' =\frac{n+1}{n+1}x^n=x^n. \]

3. \[ (\ln|x|)'=\frac1x. \] Ошондуктан: \[ \int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C. \]

4. \[ (e^x)'=e^x. \] Демек: \[ \int e^x\,dx=e^x+C. \]

5. \[ (a^x)'=a^x\ln a. \] Ошондуктан: \[ \left(\frac{a^x}{\ln a}\right)' =\frac{a^x\ln a}{\ln a}=a^x. \]

6. \[ \left(-\frac{\cos kx}{k}\right)' =-\frac1k(-\sin kx\cdot k)=\sin kx. \]

7. \[ \left(\frac{\sin kx}{k}\right)' =\frac1k(\cos kx\cdot k)=\cos kx. \]

8. \[ (\tg x)'=\frac1{\cos^2x}. \] Ошондуктан: \[ \int\frac{dx}{\cos^2x}=\tg x+C. \]

9. \[ (\ctg x)'=-\frac1{\sin^2x}. \] Демек: \[ (-\ctg x)'=\frac1{\sin^2x}. \]

10. \[ (\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}. \] Ошондуктан: \[ \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C. \]

11. \[ (\arctg x)'=\frac1{1+x^2}. \] Демек: \[ \int\frac{dx}{1+x^2}=\arctg x+C. \]

Эң маанилүү нерсе: интегралды тапкандан кийин жоопту туундуга алып текшеребиз. Эгер баштапкы берилген функция чыкса, жооп туура.