Реши 390

Краткий ответ:

\[ \begin{aligned} 1)\;&x=\frac14\log_3 10;\\ 2)\;&x=\frac13\log_2 3;\\ 3)\;&x=\frac{2+\log_{1{,}3}3}{3};\\ 4)\;&x=\frac{\log_3 2-6}{4};\\ 5)\;&x=\log_4(2+3\sqrt2);\\ 6)\;&x=\log_5 3. \end{aligned} \]

Решение

Для уравнения \(a^u=b\) используем правило:

\[ u=\log_a b. \]

1)

\[ 3^{4x}=10 \Rightarrow 4x=\log_3 10 \Rightarrow \boxed{x=\frac14\log_3 10}. \]

2)

\[ 2^{3x}=3 \Rightarrow 3x=\log_2 3 \Rightarrow \boxed{x=\frac13\log_2 3}. \]

3)

\[ 1{,}3^{3x-2}=3 \Rightarrow 3x-2=\log_{1{,}3}3 \]

\[ \boxed{x=\frac{2+\log_{1{,}3}3}{3}}. \]

4)

\[ \left(\frac13\right)^{5+4x}=1{,}5=\frac32. \]

Так как \(\frac13=3^{-1}\), получаем:

\[ 3^{-(5+4x)}=\frac32. \]

Логарифмируем по основанию \(3\):

\[ -(5+4x)=\log_3\frac32=1-\log_3 2. \]

Отсюда

\[ \boxed{x=\frac{\log_3 2-6}{4}}. \]

5)

\[ 16^x-4^{x+1}-14=0. \]

Пусть

\[ t=4^x,\qquad t>0. \]

Тогда \(16^x=t^2\), а \(4^{x+1}=4t\). Получаем:

\[ t^2-4t-14=0. \]

\[ t=\frac{4\pm\sqrt{16+56}}2 =2\pm3\sqrt2. \]

Корень \(2-3\sqrt2<0\) не подходит, поскольку \(t=4^x>0\). Поэтому

\[ 4^x=2+3\sqrt2 \Rightarrow \boxed{x=\log_4(2+3\sqrt2)}. \]

6)

\[ 25^x+2\cdot5^x-15=0. \]

Пусть

\[ t=5^x,\qquad t>0. \]

Тогда \(25^x=t^2\), поэтому

\[ t^2+2t-15=0. \]

\[ (t-3)(t+5)=0. \]

Так как \(t>0\), берём \(t=3\):

\[ 5^x=3 \Rightarrow \boxed{x=\log_5 3}. \]

Во всех пунктах преобразования обратимы, а в 5-м и 6-м отрицательные корни отброшены, потому что \(a^x>0\).