4.4есеп

Қысқаша жауап: берілген функцияларды әртүрлі екі-екіден құрамдастырсақ, мына күрделі функциялар шығады:

\[ 2x^2,\qquad 4x^2,\qquad \frac{2}{x},\qquad \frac{1}{2x},\qquad \frac{1}{x^2}. \]

Берілген функцияларды белгілейік:

\[ f(x)=2x,\qquad g(x)=x^2,\qquad h(x)=\frac1x. \]

Құрама функцияда алдымен ішкі функция, содан кейін сыртқы функция орындалады:

\[ \begin{aligned} (f\circ g)(x)&=f(g(x))=f(x^2)=2x^2,\\ (g\circ f)(x)&=g(f(x))=g(2x)=(2x)^2=4x^2,\\ (f\circ h)(x)&=f\left(\frac1x\right)=\frac2x,\qquad x\ne0,\\ (h\circ f)(x)&=h(2x)=\frac1{2x},\qquad x\ne0,\\ (g\circ h)(x)&=g\left(\frac1x\right)=\frac1{x^2},\qquad x\ne0,\\ (h\circ g)(x)&=h(x^2)=\frac1{x^2},\qquad x\ne0. \end{aligned} \]

Соңғы екі жағдайда нәтиже бірдей:

\[ g(h(x))=h(g(x))=\frac1{x^2}. \]

Бірақ жалпы жағдайда функцияларды құрамастырудың реті маңызды. Мысалы,

\[ f(g(2))=8,\qquad g(f(2))=16. \]

Егер функцияны өзімен де құрамдастыруға рұқсат етілсе, қосымша:

\[ f(f(x))=4x,\qquad g(g(x))=x^4,\qquad h(h(x))=x\ (x\ne0). \]