с решением

Краткие ответы:

1. \(\displaystyle P(A\mid B)=\frac35=0{,}6\).
2. \(\displaystyle \frac5{18}\).
3. \(\displaystyle \frac37\).
4. \(\displaystyle \frac12=0{,}5\).
5. \(\displaystyle 0{,}6\).

1. Диаграмма Эйлера

Условная вероятность вычисляется по формуле:

\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}. \]

Так как все 10 элементарных событий равновозможны, считаем точки:

• в событии \(B\) — 5 точек;
• одновременно в \(A\) и \(B\) — 3 точки.

Тогда

\[ P(A\mid B)=\frac{3}{5}=0{,}6. \]

2. Красные и синие карандаши

Всего 10 карандашей.

Вероятность сначала достать красный:

\[ \frac{5}{10}. \]

После этого останется 9 карандашей, из них 5 синих:

\[ \frac{5}{9}. \]

По правилу умножения:

\[ P=\frac{5}{10}\cdot\frac{5}{9} =\frac{25}{90} =\frac{5}{18}. \]

3. Яблоки и груши

По условию первым извлекли яблоко. После этого в вазе осталось:

\[ 8-1=7 \]

фруктов, среди которых по-прежнему 3 груши.

Поэтому

\[ P(\text{вторая — груша}\mid\text{первая — яблоко}) =\frac{3}{7}. \]

4. Кондитерские изделия

Торты составляют \(\frac14\) всего ассортимента, значит, не торты составляют:

\[ 1-\frac14=\frac34. \]

Среди не тортов шоколад содержат \(\frac23\) изделий. Тогда искомая вероятность:

\[ P=\frac34\cdot\frac23=\frac12=0{,}5. \]

5. Два банкомата

Обозначим:

• \(A\) — деньги закончились в первом банкомате;
• \(B\) — деньги закончились во втором банкомате.

Дано:

\[ P(A)=0{,}25,\qquad P(A\cap B)=0{,}15. \]

Нужно найти \(P(B\mid A)\):

\[ P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} =\frac{0{,}15}{0{,}25}=0{,}6. \]

Проверка: \(0{,}25\cdot0{,}6=0{,}15\), что совпадает с вероятностью одновременного окончания денег.