Реши 3

Да, до этого места у тебя всё правильно:

\[ x_1=3n,\qquad x_2=-\frac12+3n,\qquad n\in\mathbb Z. \]

Теперь выбираем наибольшие отрицательные корни.

1. Для \(x_1=3n\): \[ n=-1 \Rightarrow x_1=-3. \]

2. Для \(x_2=-\frac12+3n\): \[ n=0 \Rightarrow x_2=-\frac12. \]

Сравниваем: \[ -\frac12>-3. \]

Значит, наибольший отрицательный корень:

\[ \boxed{-\frac12}. \]

Если требуется просто решить уравнение, то ответ: \[ \boxed{x=3n\ \text{или}\ x=3n-\frac12,\quad n\in\mathbb Z}. \]

Потому что это две разные серии решений. В каждой серии целое число выбирается независимо. Чтобы это было видно, обозначим их разными буквами:

\[ x=3k,\qquad k\in\mathbb Z, \] \[ x=3m-\frac12,\qquad m\in\mathbb Z. \]

Ищем наибольшие отрицательные значения:

• в первой серии \(k=-1\): \[ x=3\cdot(-1)=-3; \]
• во второй серии \(m=0\): \[ x=3\cdot0-\frac12=-\frac12. \]

Буква \(n\) — это просто параметр, поэтому в разных формулах его значение не обязано совпадать. Сравниваем: \[ -\frac12>-3. \]

Ответ: \(\boxed{-\frac12}\).

Нет:

\[ \frac{2\pi}{3}\cdot 3 =\frac{2\pi\cdot 3}{3} =2\pi. \]

Тройки сокращаются. А \(6\pi\) получилось бы при умножении именно \(2\pi\) на \(3\):

\[ 2\pi\cdot3=6\pi. \]

Пришли, пожалуйста, фото или текст условия задания № 6.

Это продолжение: на фото есть условие № 6.

\[ \tg\frac{\pi(8x+9)}{3}=-\sqrt3 \]

Так как \[ \tg\alpha=-\sqrt3, \] то \[ \alpha=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. \]

Получаем: \[ \frac{\pi(8x+9)}{3}=-\frac{\pi}{3}+\pi n. \]

Сократим на \(\pi\) и умножим на \(3\): \[ 8x+9=-1+3n, \] \[ x=\frac{3n-10}{8}. \]

Корень должен быть отрицательным: \[ \frac{3n-10}{8}<0 \Rightarrow n\le 3. \]

Наибольший отрицательный корень получается при \(n=3\): \[ x=\frac{9-10}{8}=-\frac18. \]

\[ \boxed{-\frac18} \]

Нет, ты делаешь правильно. В твоём решении просто взят другой представитель угла:

\[ \tg\frac{2\pi}{3}=-\sqrt3, \]

поэтому можно записать:

\[ \frac{\pi(8x+9)}3=\frac{2\pi}3+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. \]

Дальше:

\[ \pi(8x+9)=2\pi+3\pi n, \]

\[ 8x+9=2+3n, \]

\[ 8x=-7+3n, \]

\[ x=\frac{3n-7}{8}. \]

Чтобы корень был отрицательным:

\[ \frac{3n-7}{8}<0 \Rightarrow n\le 2. \]

Берём наибольшее допустимое \(n=2\):

\[ x=\frac{3\cdot2-7}{8}=-\frac18. \]

\[ \boxed{x=-\frac18} \]

Твоя формула отличается от предыдущей только заменой параметра \(n\), но множество решений получается тем же.

\[ 8x=3n-7. \]

Чтобы оставить только \(x\), делим обе части на \(8\), то есть умножаем на \(\frac18\):

\[ x=(3n-7)\cdot\frac18=\frac{3n-7}{8}. \]

Без дроби записать нельзя, потому что \(3n-7\) не всегда делится на \(8\). Можно только заменить дробь десятичной:

\[ x=0{,}125(3n-7), \]

но форма

\[ \boxed{x=\frac{3n-7}{8}} \]

правильнее и удобнее.

Итог у тебя правильный:

\[ x=8+8n \quad\text{или}\quad x=2+8n,\qquad n\in\mathbb Z. \]

Но есть неточность в строке с \(\arcsin\):

\[ \arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{\pi}{4}, \]

а не \(\frac{5\pi}{4}\). Угол \(\frac{5\pi}{4}\) тоже подходит, потому что его синус равен \(-\frac{\sqrt2}{2}\), но это не значение арксинуса.

Правильная запись:

\[ \frac{\pi(x-3)}4=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad\text{или}\quad \frac{\pi(x-3)}4=\frac{5\pi}{4}+2\pi n. \]

Отсюда:

\[ x=2+8n\quad\text{или}\quad x=8+8n. \]

Если нужно найти наибольший отрицательный корень, то:

\[ x=2+8(-1)=-6, \]

а из первой серии ближайший отрицательный корень равен \(-8\). Поэтому

\[ \boxed{x_{\text{наибольший отрицательный}}=-6}. \]

Для № 7:

\[ \sin\frac{\pi(x-3)}4=-\frac{\sqrt2}{2}. \]

Синус равен \(-\frac{\sqrt2}{2}\) при

\[ \frac{\pi(x-3)}4=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \] или \[ \frac{\pi(x-3)}4=\frac{5\pi}{4}+2\pi n, \qquad n\in\mathbb Z. \]

1-й случай: \[ x-3=-1+8n \Rightarrow x=2+8n. \]

2-й случай: \[ x-3=5+8n \Rightarrow x=8+8n. \]

Положительные корни: \(2,8,10,16,\ldots\)

Наименьший положительный корень:

\[ \boxed{2}. \]

Если ищем наименьший положительный корень, удобно обозначить параметры по-разному:

\[ x_1=2+8k,\qquad x_2=8+8m. \]

Для \(x_1\): \[ k=0\Rightarrow x_1=2,\qquad k=-1\Rightarrow x_1=-6. \] Значит, берём \(k=0\).

Для \(x_2\): \[ m=0\Rightarrow x_2=8,\qquad m=-1\Rightarrow x_2=0. \] Ноль не является положительным, поэтому берём \(m=0\).

Сравниваем: \[ 2<8. \]

Ответ: \[ \boxed{x=2}. \]

В обеих сериях для положительных корней параметр принимает значения \(0,1,2,\ldots\).

В № 7 сверху всё правильно: \(x_1=8\), \(x_2=2\), ответ \(2\).

В № 8 начало верное, но в последних строках есть ошибки. Нужно:

\[ \arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3}, \qquad \pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}. \]

Тогда

\[ \frac{\pi(8x+3)}3=\frac{\pi}{3}+2\pi n \] или \[ \frac{\pi(8x+3)}3=\frac{2\pi}{3}+2\pi n. \]

Умножаем на \(\frac3\pi\):

\[ 8x+3=1+6n \quad\text{или}\quad 8x+3=2+6n. \]

Отсюда:

\[ 8x=-2+6n \quad\text{или}\quad 8x=-1+6n, \]

\[ \boxed{x=\frac{3n-1}{4}} \quad\text{или}\quad \boxed{x=\frac{6n-1}{8}}, \qquad n\in\mathbb Z. \]

То есть внизу должно быть \(-2+6n\) и \(-1+6n\), а не \(-8+6n\) и \(-3+6n\). Какой корень требуется найти в № 8 — наименьший положительный или наибольший отрицательный?

Почти всё правильно. Уточню: на фото в условии стоит \(8x+9\), поэтому моя предыдущая проверка с \(8x+3\) была неточной.

До этого места у тебя верно:

\[ 8x_1=-8+6n, \qquad 8x_2=-7+6n. \]

Ошибка появилась при делении на \(8\): делить нужно каждый член выражения.

\[ x_1=\frac{-8+6n}{8} =-1+\frac{6n}{8} =-1+\frac{3n}{4}, \]

\[ x_2=\frac{-7+6n}{8} =-\frac78+\frac{3n}{4}. \]

Итак,

\[ \boxed{x_1=-1+\frac{3n}{4}}, \qquad \boxed{x_2=-\frac78+\frac{3n}{4}}, \qquad n\in\mathbb Z. \]

Запись \(x_1=-1+6n\) неверна, потому что множитель \(\frac18\) должен применяться и к \(6n\).