Реши задание на изображении

Краткий ответ

4.15

а) \(\displaystyle x\in\left[-\frac23;2\right]\);

б) \(\displaystyle x\in(-6;6)\);

в) \(\displaystyle x\in(-2;-1)\);

г) \(\displaystyle x\in[0;8]\).

4.16

а) \(\displaystyle x\in(2;7)\);

б) \(\displaystyle x\in[-2;1]\);

в) \(\displaystyle x\in[1;6]\);

г) \(\displaystyle x\in(-4;-1)\).

4.17

а) \(\displaystyle x\in\left[-\frac12;\frac32\right]\);

б) \(\displaystyle x\in[3;5]\);

в) \(\displaystyle x\in[0;2)\);

г) \(\displaystyle x\in\left(-\frac85;0\right)\).

Решение

Главное правило: действия выполняем сразу над всеми частями двойного неравенства. При делении или умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.

4.15

а)
\[ -2\le 3x\le 6 \] Делим на \(3\): \[ -\frac23\le x\le 2. \]

б)
\[ -1<-\frac{x}{6}<1 \] Умножаем на \(6\): \[ -6<-x<6. \] Умножаем на \(-1\), знаки меняются: \[ -6<x<6. \]

в)
\[ 6<-6x<12. \] Делим на \(-6\), меняя знаки: \[ -1>x>-2. \] Записываем по возрастанию: \[ -2<x<-1. \]

г)
\[ 0\le\frac{x}{4}\le 2. \] Умножаем на \(4\): \[ 0\le x\le 8. \]

4.16

а)
\[ 3<x+1<8 \] Вычитаем \(1\): \[ 2<x<7. \]

б)
\[ -3\le 2x+1\le 3 \] Вычитаем \(1\): \[ -4\le 2x\le 2. \] Делим на \(2\): \[ -2\le x\le 1. \]

в)
\[ -4\le x-5\le 1 \] Прибавляем \(5\): \[ 1\le x\le 6. \]

г)
\[ -8<3x+4<1 \] Вычитаем \(4\): \[ -12<3x<-3. \] Делим на \(3\): \[ -4<x<-1. \]

4.17

а)
\[ -2\le 1-2x\le 2 \] Вычитаем \(1\): \[ -3\le -2x\le 1. \] Делим на \(-2\), меняя знаки: \[ \frac32\ge x\ge-\frac12. \] Итак, \[ -\frac12\le x\le\frac32. \]

б)
\[ -1\le\frac{6-2x}{4}\le 0 \] Умножаем на \(4\): \[ -4\le 6-2x\le 0. \] Вычитаем \(6\): \[ -10\le -2x\le -6. \] Делим на \(-2\): \[ 5\ge x\ge 3, \] то есть \[ 3\le x\le 5. \]

в)
\[ -5<3-4x\le 3 \] Вычитаем \(3\): \[ -8<-4x\le 0. \] Делим на \(-4\), меняя знаки: \[ 2>x\ge 0. \] Следовательно, \[ 0\le x<2. \]

г)
\[ -3<\frac{5x+2}{2}<1 \] Умножаем на \(2\): \[ -6<5x+2<2. \] Вычитаем \(2\): \[ -8<5x<0. \] Делим на \(5\): \[ -\frac85<x<0. \]

Проверка

Например, в пункте 4.17в:

• при \(x=0\): \(3-4x=3\), верхняя граница включается;
• при \(x=2\): \(3-4x=-5\), нижняя граница не включается.

Поэтому ответ действительно \(0\le x<2\). В остальных пунктах границы проверяются аналогично подстановкой.

Упражнение 4.18 на фотографии обрезано, его условие полностью не видно.